Een moeilijk bewijs

Dit bewijs is ongelooflijk moeilijk, ik snap er niets van.

Gegeven :
rechthoekige ABC met hoek C=90°
M is het midden van [AB]
N is het midden van [BC]
O is het midden van [AC]
De cirkel X met middelpunt M en diameter de lengte van [AB]
De cirkel Y met middelpunt N en diameter de lengte van [BC]
De cirkel Z met middelpunt O en diameter de lengte van [AC]

Te Bewijzen:
De oppervlakte van het deel van cirkel Y dat buiten cirkel X valt + de oppervlakte van het deel van cirkel Z dat buiten cirkel X valt = De opp van de rechthoekige ABC.

Hopelijk kunnen jullie me helpen. dankuwel

Thomas
2de graad ASO - woensdag 22 januari 2003

Antwoord

Hoi,

Je hebt dus een rechthoekige driehoek met cirkels op de drie zijden. Je wil bewijzen dat de 'halve maantjes' op de rechthoekszijden dezelfde oppervlakte hebben als de driehoek zelf.

De oppervlakte van een halve cirkel is pr²/2=pd²/8 (r de straal, d de diameter). De oppervlaktes van de halve cirkels op zijden A, B en C (schuine zijde), noteren we met S_A, S_B en S_C. De oppervlakte van de driehoek noemen we S_abc. Je ziet dat de oppervlakte van de maantjes gegeven is door S_A+S_B+S_abc-S_C. We moeten dus enkel nog bewijzen dat S_C=S_A+S_B en dit volgt zo uit de stelling van Pythagoras (C²=A²+B²).

Groetjes,
Johan

PS: sorry dat er geen plaatje bestaat...

andros
donderdag 23 januari 2003

©2001-2024 WisFaq