In plakboek moeten 100 prentjes geplakt

Hoeveel prentjes moet ik (gemiddeld) kopen om een redelijke (50%) kans te hebben dat ik ze alle 100 heb. Ik schat ca
500. Hoe bereken je dat?

NB. ik maakte een programma op pc en koos random getallen van 1 tot 100 en deed de test 10 maal over en kwam aan een gemiddelde van 518.

Piet D
Iets anders - maandag 1 oktober 2012

Antwoord

Ik zie dit probleem als de som van 99 (100-1) geometrisch verdeelde stochasten. (de geometrische verdeling geeft de kans voor het aantal onafhankelijke experimenten, totdat je voor het eerst succes hebt. Hiermee kan je bijvoorbeeld de kans uitrekenen dat je na 5x een munt opgooien, voor het eerst kop gooit)

Dit werkt in dit voorbeeld als volgt:

Je gaat steeds kaartjes kopen tot dat je een nieuwe vind die je eerst nog niet had.
Bij het eerste plaatje is het makkelijk, daarvoor heb je kans 1 dat die 'nieuw' is.
Daarna ga je kaartjes kopen totdat je het tweede nieuwe plaatje hebt. Per kaartje dat je nu koopt heb je 99% kans dat het een nieuwe is.
Bij de derde 98% enzovoorts.
Dus je hebt 99 geometrische verdeelde stochasten, met parameters 0.99, 0.98, 0.97....... 0.01.

Jouw vraag is hoeveel plaatjes je moet kopen om 50% kans te hebben dat je ze alle 100 hebt. Dit is vrij lastig uit te rekenen. Daarvoor zou je namelijk de kansdichtheid voor de som van deze 99 geometrisch verdeelde stochasten moeten weten. (Of je moet al die kansen afzonderlijk uitrekenen, hetgeen uiteraard niet efficient is.) (Het is wel mogelijk om te kijken of de som van deze geometrische stochasten een bekende verdeling volgt. Mocht dat zo zijn, dan is het wel gemakelijk uit te rekenen. Als je hierin geinteresseerd bent, zoek dan op laplacetransformatie.)

Een andere vraag, die misschien toch wat inzicht geeft, is de verwachting van het aantal plaatjes dat je zal moeten kopen. Omdat de 99 geometrische stochasten onafhankelijk van elkaar zijn, is de verwachting van de som van deze stochasten, gelijk aan de som van de verwachtingen (E(x₁+x₂...+x₁00)=Ex₁+Ex₂...+Ex₉9)
De verwachting van een geometrisch verdeelde stochast is gelijk aan 1/p.
Dus je krijgt: E(x₁+x₂.....)=1/0.99+1/0.98+....+1/0.01

Dit vind ik teveel werk om handmatig uit te rekenen. Aangezien je aangaf dat je zelf al de computer gebruikte voor je probleem, zal ik de code geven die ik gebruikt heb om het te berekenen (In R).

esx$<$-0
for(x in 1:99)
{
p$<$-x/100
ex$<$-1/p
esx$<$-esx+ex
}
esx$<$-esx+1
print(esx)

Hieruit blijkt 518.7378 te komen.

N.B.
De verwachting, en 50% kans dat je genoeg plaatjes hebt gekocht, hoeft niet overeen te komen! Dit geld (meestal) alleen bij symmetrische kansverdelingen (zoals de normale verdeling). In dit geval (als je met je computer programma het juiste aan het simuleren was), blijkt het antwoord op je vraag hetzelfde te zijn als de verwachting.

Even een voorbeeld voor het E(x)=/= (k|P(x < k)=0.50)

stel je hebt:
10% op 1, 40% op 2, 30% op 3, 20% op 4

dan E(x)=0.1·1+0.4·2+0.3·3+0.2·4=2.6
en (k|P(x < k)=0.50) = 2
(want 1 en 2 zijn goed voor 50% (10%+40%), dus 50% van de waarnemingen is kleiner of gelijk aan 2)

bs
maandag 1 oktober 2012

©2001-2024 WisFaq