Galoistheorie

Goedemiddag!
In de categorie 'galoistheorie' heb ik de volgende vraag. Gegeven is het lichaam: L=Q(i,Sqrt[a+bi]). Hierin zijn a,b breuken en is a+bi geen kwadraat in Q(i).
Te bewijzen: als L/Q galois is, bestaat er een c in Q zodat a²+b²=c².
De hint die ik heb, is: als L/Q galois is, bevat L ook Sqrt[a-bi]. Ik heb geprobeerd te bedenken waarom dit zo is, maar het lukt niet. Ik weet dat een irreducibel polynoom met één nulpunt in L splijt over L. Ik wilde een irreducibel polynoom opstellen in Q(i)$\overline x$ met Sqrt[a+bi] en Sqrt[a-bi] als nulpunten, maar loop vast. Is er misschien een andere manier om in te zien waarom deze hint klopt?
Alvast bedankt!

Marise
Student universiteit - maandag 13 augustus 2012

Antwoord

Je kunt narekenen dat $\sqrt{a+bi}$ een nulpunt is van $(X^2-a)^2+b^2$. Het gegeven dat $\sqrt{a+bi}$ niet in $\mathbb{Q}(i)$ ligt impliceert dat dat polynoom irreducibel is; het is dus het minimumpolynoom van $\sqrt{a+bi}$.
Het polynoom splijt dus over $L$ en $\sqrt{a-bi}$ is een van de nulpunten.

kphart
woensdag 15 augustus 2012

©2001-2024 WisFaq