Logaritmische schaal

Bij een voorbeeld in het boek over logaritmische schalen wordt van de functies f(x)=10^x en g(x)=2^x

De volgende schaal verdeling gebruikt:

Op de y as wordt elke centimeter wordt vermenigvuldigd met 10 de xas heeft de normale lineaire schaal.

De punten (0,1), (1,10) en (2,10²) van de grafiek van f komen dus elke keer 1 cm hoger te liggen.

En de punten (0,1), (1,2), (2,2²) van de grafiek van g komen telkens op gelijke afstand van ¹⁰ log 2 $\approx$ 0,3cm hoger te liggen

Vraag:
Waarom ¹⁰log 2 en bedoelen ze hier de grafieken f en g allebei in dezelfde assenstelsel of apart?

bouddo
Leerling mbo - zondag 6 mei 2012

Antwoord

Als je de functie y = 10^x hebt en je vult wat waarden voor x in, dan krijg je natuurlijk al snel bijzonder grote uitkomsten.
Het rijtje x = 0, 1, 2, 3 geeft bijv. de resultaten 1, 10, 100, 1000.
Het nadeel van die grote y-waarden is dat je die vrijwel niet op een 'normaal' stuk grafiekenpapier kunt tekenen.

Logaritmen (bijv. met grondtal 10) van grote getallen zijn in verhouding heel veel kleiner. Zo is bijv. log(1000000000) niet meer dan 9.
Zo kwam men op de gedachte om niet te proberen die grote getallen zelf in een grafiek te krijgen, maar ze eerst te vervangen door hun logaritme.
Je probeert dus niet het punt (4,10000) te tekenen, maar vervangt het door (4,4) omdat log(10000) = 4.

Zolang je dit doet met getallen die een 'mooie' macht van 10 zijn, krijg je uiteraard ook mooie uitkomsten!
Kijk maar naar ¹⁰log(10¹²) = 12 of ¹⁰log(10^11/₂) = 1¹/₂ enz.

Voor de getallen die géén macht van 10 zijn, doe ik echter gewoon hetzelfde.
Als ik dus bij een bepaalde functie het punt (3,1825) moet tekenen, dan vervang ik die grote waarde 1825 gewoon door log(1825) en dat is een héél stuk kleiner.
Het aardige is nu dat, als je dit doet, de grafieken van functies van het type y = 10^x ineens recht blijken te worden. Op gewoon papier zijn ze sterk gekromd, op het zogeheten logaritmische papier worden het rechte lijnen.

Tot slot: dat men kiest voor het grondtal 10 bij het bepalen van de logaritme, is niet meer dan een afspraak. Je zou net zo goed een ander grondtal kunnen nemen en dat gebeurt ook wel eens.
Zo zou je bij de functie f(x) = 9^x misschien liever met grondtal 3 werken dan met het grondtal 10.
Je krijgt namelijk wat mooiere uitkomsten. ³log(9) is nu eenmaal wat mooier dan ¹⁰log(9).

MBL
maandag 7 mei 2012

©2001-2024 WisFaq