Oplossen van 2 vergelijking met 3 variabelen, met enkel hele getallen

Ik kom er niet uit hoe ik een volgend probleem zou kunnen oplossen...

Gegeven is: x+y+z = 47000
En 10x+25y+55z = 620.000
waarbij x, y en z hele getallen zijn en niet 0

Ik heb op allerlei manieren geprobeerd de vergelijkingen op te lossen, maar het is steeds onoplosbaar. Dat komt omdat ik niet weet hoe ik rekening moet houden met het feit dat x, y en z hele getallen zijn. Want als ik 'gewoon' met enkel beide vergelijkingen te werk ga, heb ik een variabele te veel om het te kunnen oplossen.

Nu weet ik toevallig wel dat een mogelijke oplossing is x=40000, y=5500, z=1500. Ik weet niet of er nog andere mogelijke oplossingen zijn, dat zou misschien kunnen, maar mijn vraag is dus hoe ik dit nu kan oplossen, zonder dat ik het antwoord van te voren weet, want er zijn nog meer dergelijke problemen (met andere getallen) die ik zou willen oplossen.

Hopelijk is het duidelijk en kan iemand me helpen!

peer
Student hbo - zondag 8 januari 2012

Antwoord

Uit x+y+z=47000 volgt: z=47000-x-y.
Als we dit invullen in 10x+25y+55z-620000 dan krijgen we
10x+25y+55(47000-x-y)=620000
Door haakjes uitwerken en samennemen krijgen we:
45x+30y=1965000
Even nagaan levert dat we beide zijden van de vergelijking kunnen delen door 15.
Dit levert:
3x+2y=131000
Dus alle roosterpunten van de lijn 3x+2y=131000 voldoen (mits x,y en z groter dan nul zijn).
Er zijn dus heel veel oplossingen.
Bijvoorbeeld uit de oplossing
x=40000, y=5500, z=1500, kun je eenvoudig afleiden dat
x=40000-2k, y=5500+3k en z=1500-k ook een oplossing is:

Ga maar na
x+y+z=400000-2k+5500+3k+1500-k=40000+5500+1500=47000
10x+25y+55z=
10·(40000-2k)+25·(5500+3k)+55(1500-k)=
10·40000-20k+25·5500+75k+55·1500-55k=6200000.

Het idee is dus: vind een oplossing en druk m.b.v. deze oplossing de verzameling van alle oplossingen uit in een parameter (b.v. k).

zondag 8 januari 2012

©2001-2024 WisFaq