Vierdegraadsfuncties

Hoe stel je een functievoorschrift op van een vierdegraadsfunctie wanneer enkel een grafiek is gegeven?

Kim De
3de graad ASO - dinsdag 30 augustus 2011

Antwoord

Beste Kim,

Stel dat je het functievoorschrift van de onderstaande vierdegraadsfunctie wil bepalen.



Indien we het functievoorschrift van een lineaire functie moesten bepalen, moesten we de coördinaten van 2 punten op de grafiek (zijnde de rechte) weten.
Indien het functievoorschrift van een parabool moest worden opgesteld, had je 3 punten nodig.
Blijkbaar heb je telkens één punt meer nodig dan de graad van de functie om het functievoorschrift te kunnen bepalen.

We hebben dus 5 punten nodig op de plot van de vierdegraadsfunctie.
Een kwestie van nauwkeurig aflezen, de coördinaten van 5 willekeurige punten op de grafiek zijn (-2,-1), (-1,-4), (0,1), (1,8) en (2,59).

Je weet waarschijnlijk wel dat het algemene functievoorschrift van een vierdegraadsfunctie $f(x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$ luidt?

Nu is het een kwestie van de bijbehorende x-waarden in de vergelijking in te vullen en dit gelijkstellen aan de y-waarde. Dit levert een stelsel op van 5 vergelijkingen en ook 5 onbekenden, hetgeen een eenduidig antwoord zou moeten opleveren.

Het stelsel luidt:
$\cases {
f(-2) = -1 \cr
f(-1) = -4 \cr
f(0) = 1 \cr
f(1) = 8 \cr
f(2) = 59
} $

$\cases {
a \cdot (-2)^{4} + b \cdot (-2)^{3} + c \cdot (-2)^{2} + d \cdot (-2) + e = -1 \cr
a \cdot (-1)^{4} + b \cdot (-1)^{3} + c \cdot (-1)^{2} + d \cdot (-1) + e = -4 \cr
a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{3} + c \cdot 0^{2} + d \cdot 0 + e = 1 \cr
a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{3} + c \cdot 1^{2} + d \cdot 1 + e = 8 \cr
a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{3} + c \cdot 2^{2} + d \cdot 2 + e = 59
} $

$\cases {
16a - 8b + 4c -2d + e = -1 \cr
a - b+ c - d + e = -4 \cr
e = 1 \cr
a + b + c + d + e = 8 \cr
16a + 8b + 4c + 2d + e = 59
} $

Indien we overal $e = 1$ vervangen en naar het rechterlid brengen, staat er

$\cases {
16a - 8b + 4c -2d = -2 \cr
a - b+ c - d = -5 \cr
a + b + c + d = 7 \cr
16a + 8b + 4c + 2d = 58
} $

Er zijn verschillende methodes om dit stelsel verder op te lossen: je kunt vegen, je kunt herhaalde substitutie toepassen of je kunt m.b.v. matrices gaan rekenen. Ik zal de laatste strategie toelichten.

Herschrijf de linkerleden van het stelsel als een matrix-vermenigvuldiging en het rechterlid als een matrix bestaande uit een kolom en 4 rijen.
Dan staat er
$ \pmatrix{ 16 & -8 & 4 & -2 \cr 1 & -1 & 1 & -1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 \cr 16 & 8 & 4 & 2 } \cdot \pmatrix{ a \cr b \cr c \cr d } = \pmatrix{-2 \cr -5 \cr 7 \cr 58}$
Dan is $ \pmatrix{a \cr b \cr c \cr d} = \left (\pmatrix{ 16 & -8 & 4 & -2 \cr 1 & -1 & 1 & -1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 \cr 16 & 8 & 4 & 2 }\right )^{-1} \cdot \pmatrix{-2 \cr -5 \cr 7 \cr 58}$.

Ik weet niet of je bekend bent met het vinden van de inverse matrix, zo nee, reageer dan even. De inverse matrix is .
Dus $\pmatrix{ a \cr b \cr c \cr d} = \pmatrix{ 2 \cr 3 \cr -1 \cr 3}$.
Dit had je overigens ook m.b.v. de regel van Cramer kunnen vinden (zie bijvoorbeeld Wikipedia).
En we wisten al dat $e = 1$, dus de vergelijking van de vierdegraadsfunctie is $f(x) = 2x^{4} + 3x^{3} - x^{2} + 3x + 1$.

Mocht je nog vragen hebben, laat het weten!

woensdag 31 augustus 2011

©2001-2024 WisFaq