Punt op zijde driehoek construeren

De opdracht ziet er erg eenvoudig uit, maar vinden ....

Als in driehoek ABC gegeven zijn de punten D en E op zijn twee zijden AB en AC: te vinden een punt F op zijn derde zijde BC, zodanig dat bij het trekken van DF en EF de hoeken BDF en CEF gelijk zijn.

Met GeoGebra lukt het zeker. Ik heb zelfs een tekeninstrument bedacht. Dat levert en hyperbool op en die snijdt zijde BC. De techniek staat voor niets.

Hamvraag is nu: waarom is het een hyperbool?
Ik heb de website van Dick Klingens doorzocht op iets bruikbaars, de stellingen van Apollonius, etc, maar kan de hyperbool niet verklaren. Wie heeft er een idee?

Henk H
Docent - zaterdag 6 augustus 2011

Antwoord

Dag Henk,
Een analytisch bewijs, met zelfs de mogelijkheid om dan met passer en lat punt F te construeren:

O is het midden van DE. Teken nu een x-as evenwijdig met de bissectrice van hoek A en een y-as door O loodrecht op de x-as.(Naar aanleiding van een tip van Dick Klingens).
Kies de coordinaten van D en E: D(-1,-e) en E(1,e).
'Teken' nu de hyperbool y=e/x.
Dan geldt voor elk punt P op die hyperbool dat de bissectrice van hoek DEP evenwijdig is aan de x-as.
Bewijs: Neem P(p,e/p). Dan is de rc van PD: (e/p--e)/(p--1)=e/p.
En de rc van PE: (e/p-e)/(p-1)=-e/p.
Dat geldt dan natuurlijk voor zowel A als F. A ligt dus ook op de hyperbool. F hebben we op de hyperbool gekozen en de bissectrice is dan evenwijdig aan de x-as.
Met behulp van gelijke Z-hoeken volgt nu hoek FEC=hoek BDF.

Mogelijkheid voor een cocnstructie met passer en lat:
Noem het snijpunt van BC met de x-as punt G(g,0) en h=helling van BC.
Dan geldt voor BC: y=h(x-g). Voor F geldt dan: h(x-g)=e/x, of
hx²-hgx-e=0, dus x={hg+$\sqrt{ }$(h²g²+4he)}/(2h).
En dat is volgens de principes van Euclides te construeren met passer en lat, we kennen immers h,g,e en de eenheid.



Blijft over een uitdaging om die constructie zo eenvoudig mogelijk te maken, of een bewijs te leveren op grond van eigenschappen van een orthogonae hyperbool.
Groeten,
Lieke.

ldr
maandag 8 augustus 2011

©2001-2024 WisFaq