Lissajousfiguur

Ik heb de volgende vraag:
De baan P is voor t op [0,a] gegeven door
de kromme K : x= 1 + 2 cos(t) en y = 2cos(2t).
Hierin zijn x en y in meters en t in seconden. De kromme wordt één keer doorlopen.
Bereken a.
Ik heb de kromme getekend en dan zie ik dat a=$\pi$
Maar berekenen? Ik weet dat de periode van x is 2$\pi$ en van
y is $\pi$. Dus de periode van de kromme is 2$\pi$. Hoe kan ik dan (zonder tekening) berekenen dat a=$\pi$?

Alvast bedankt,
Katrijn

Katrij
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 16 juni 2011

Antwoord

Beste Katrijn,
Hier zie je dat het plotten met je grafische rekenmachine je aan de oplossing helpt en daar kan je gebruik van maken om een exacte oplossing te berekenen.
Je ziet namelijk dat de grafiek een parabool is die bij t=$\pi$ één maal is doorlopen. Daarna doorloopt hij dezelfde parabool nog eens, maar dan andersom.
Er is dus een symmetrie bij t=$\pi$.
Dat betekent dat je op hetzelfde punt terecht komt bij t=$\pi$+s als bij t=$\pi$-s.
En dat klopt ook, want cos($\pi$+s)=cos($\pi$-s).
Je kan cos(2t) schrijven als 2cos²(t)-1, dus zowel x als y zijn gelijk bij t=$\pi$+s en t=$\pi$-s en dat verklaart dat a=$\pi$.
Dat tekenen van de grafiek was dus weldegelijk nuttig , maar dan als hulpmiddel.
Groeten,
Lieke.

ldr
donderdag 16 juni 2011

©2001-2024 WisFaq