Oefening middellijnen in een cirkel

In een cirkel zijn er 2 willekeurige middellijnen. Middellijn a snijdt de cirkel in I en N, middellijn b snijdt de cirkel in A en R. Bewijs dat het lijnstuk IR = het lijnstuk AN.

Dit lukt wel en is heel eenvoudig als je gebruik maakt van congruente driehoeken maar dit mag niet. Op te lossen met middellijnen, raaklijnen, ... in/aan een cirkel?

Kevin
2de graad ASO - vrijdag 6 mei 2011

Antwoord

Dag Kevin,

Inderdaad maak je al snel gebruik van congruente driehoeken. Ik kan er wel komen met behulp van middellijnen en de stelling van Thales. Zegt deze stelling jou iets? (raaklijnen zou ik overigens niet snel gebruiken in deze situatie, maar misschien zie ik ook wel iets over het hoofd). De stelling van Thales zegt (even in mijn eigen woorden): Neem een middellijn van een cirkel. Bedenk dat de twee snijpunten van deze middellijn en de cirkel, twee hoekpunten zijn van een driehoek. Indien je het derde hoekpunt van die driehoek ergens willekeurig op de cirkel plaatst, dan vormt dat derde hoekpunt een hoek van 90 graden (een rechte hoek). Even een tekening erbij:


Via middellijn IN volgt:
hoek IAN = 90 graden, maar ook
hoek IRN = 90 graden.

Via middellijn AR volgt:
hoek AIR = 90 graden, maar ook
hoek ANR = 90 graden.

Als je nu kijkt naar vierhoek IRNA dan zie je nu dus dat het eigenlijk een rechthoek is (alle hoeken zijn recht) (nog steeds geen gebruik gemaakt van congruente driehoeken).

In een rechthoek geldt dat overstaande zijden zowel evenwijdig als evenlang zijn. Dus: IR = AN

Als je gebruik mag maken van de stelling van Thales, dan heb je hierzo het bewijs. Hopelijk heb je er wat aan.

Mvg Thijs Bouten

zaterdag 7 mei 2011

©2001-2024 WisFaq