Speciale integraal?

Beste Mensen,

Bij het berekenen van het magnetisch veld in een spoel kwam ik de volgende integraal tegen.

Int_{x van 0 tot 2 Pi} 1/ ( 1 - a cos x )

Hierbij ligt a tussen -1 en 1. Deze integraal zou gelijk moeten zijn aan 2 Pi / sqrt(1 - a^2). Ik heb numeriek gechecked dat dat ook inderdaad zo is maar ik heb nog geen idee hoe ik dat zou moeten bewijzen. Kan iemand mij een tip geven? Het is vast een bekende integraal, maar ik kan heb hem nog nergens kunnen vinden.

Bedankt en groet. Oscar

PS: Het is niet helemaal waar dat ik helemaal geen idee heb. Je kunt de integrand uitschrijven als een machtreeks in a en dan de termen integreren. Maar, dat lijkt mij wel een erg omslachtige methode.

oscar
Docent - dinsdag 28 december 2010

Antwoord

1. substitueer t=cos(x), hiermee bouw je de integraal van 0 tot pi om tot de integraal van -1 tot 1 van 1/((1-at)sqrt(1-t²)) (de hele integraal is 2 maal het antwoord)
2. substitueer t=tan(x/2), dan cos(x)=(1-t²)/(1+t²) en met wat werk maak je van de integraal van -pi tot pi de integraal van -oneindig tot oneindig van 1/((1-a)+(1+a)t²)
3, maak er een integraal langs de eenheidscirkel van door z=e^ix te substitueren; je krijgt de integraal van 2i/(az²-2z+a) en deze is met residuenrekening redelijk snel te berekenen.

kphart
woensdag 29 december 2010

©2001-2024 WisFaq