Benadering formule bogcos

Om de vloeistof inhoud van een cilinder uit te rekenen, bijv een olietank aan de hand van de vloeitsof hoogte kan deze formule worden gebruikt:

R = D/2
Af = R2 · cos-1((R-h)/R) - (R-h)·√(2·R·h-h2)
Vf = Af·L + $\pi$·a·h2 · (1-(h/(3R)))

waarbij:
a = distance head (afstand van de bolling)
D = tank diameter
h = Height fluid
L = Cylinder length

Nu hebben mijn studenten twee vragen:

1)
kan deze formule worden herschreven zodat er een expliciete relatie ontstaat van h = h(a,D,L)?
Dus kan de vloeistof hoogte worden uitgerekend aan de hand van het gemeten volume?

2)
Kan bogcos of cos-1 worden benaderd door een andere formule
op internet staat ergens dat voor bgcos((r-h)/r) de benadering $\pi$/2-(r-h)/r kan worden gebruikt maar bij uitrekenen komt dat niet eens in de buurt.

Wij zijn benieuwd want we hebben er heel lang aan lopen puzzelen.

Onno K
Student universiteit - woensdag 22 december 2010

Antwoord

Hallo, Onno.
Je kunt de eerste formule, R=D/2, gebruiken om R te elimineren uit de tweede en derde formule, en vervolgens de tweede formule, Af = ... , gebruiken om Af te elimineren uit de derde formule.
Je vindt dan Vf uitgedrukt in L, D, a en h.
Ik mis nu een alternatieve berekening van Vf, eveneens uitgedrukt in L, D, a en h. Pas dan is h impliciet gedefinieerd als functie van a, D en L.
Om dan vervolgens h expliciet te maken, heb je inderdaad een benadering van bgcos((R-h)/R) nodig, dus van bgcos(1 - h/R).
Indien R en h ongeveer even groot zijn, dus (R-h)/R klein, moet je een Taylorbenadering van bgcos(x) rond x=0 gebruiken. Maar als h klein is in vergelijking met R, dus h/R klein, moet je een Taylorbenadering van bgcos(x) rond x=1 gebruiken.
De tweede orde Taylorbenadering van f(x) rond x=a is
f(a) + f '(a)(x-a) + (1/2)f "(a)(x-a)².
Succes!

donderdag 23 december 2010

Re: Benadering formule bogcos

©2001-2024 WisFaq