Kansberekening lootjes trekken

Vraag uit de nationale wetenschapsquiz. Een groep van 5 personen trekt lootjes voor sinterklaasavond. Als ze het jaar daarop met 10 personen trekken:

A twee keer zo vaak trekken zodat niemand zich zelf heeft
B wortel twee keer zo vaak trekken
C even vaak trekken?

jan oo
Iets anders - zaterdag 4 december 2010

Antwoord

Voor niet te grote n kun je de kwestie voor n personen onderzoeken met het volgende pascalprogramma (om html-redenen heb ik de rechte haken hieronder vervangen door ronde):

program lootjestrekken;
var n,k,i,j,m:integer; t,a,soma:real; p:array[1..12] of integer; klaar,geldigetrekking,niemandzichzelf:boolean;
begin
writeln('Hoeveel personen? (minstens 2 en hoogstens 12)'); readln(n);
soma:=0; t:=0;
while true do
begin
t:=t+1; a:=0; klaar:=false;
repeat
for k:=1 to n do p(k):=random(n)+1;
geldigetrekking:=true;
for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if p(i)=p(j) then geldigetrekking:=false;
if geldigetrekking then
begin
a:=a+1; niemandzichzelf:=true;
for m:=1 to n do if p(m)=m then niemandzichzelf:=false;
if niemandzichzelf then klaar:=true;
end
until klaar;
soma:=soma+a;
writeln(soma/t:13:5)
end
end.

Als je dit pascalprogramma runt, dan lijkt de output zich voor iedere n vanaf 4 of 5 te stabiliseren op 2.7...
Dit doet denken aan de wiskundige constante e=2.71828...
Ik heb eerst gegoogled met zoekwoordenreeksen als "lottery e=2.7" en zo, maar niets bruikbaars gevonden.
Bij googelen met "sinterklaas constante e=2.71828" vond ik een verwijzing naar een site van de befaamde wiskundemeisjes, waaruit ik opmaak dat de kans dat niemand zichzelf trekt nadert naar 1/e als n nadert naar oneindig. Bingo!

Het antwoord voor de wetenschapsquiz is dus C: (gemiddeld ongeveer) even vaak trekken.

PS Ik heb het verwachte aantal trekkingen berekend voor n= 4 en n=5: uitkomsten 8/3 en 30/11 resp.
Dat is allebei al ongeveer e.
Voor n=10 heb ik het nog niet gedaan, dat vereist wat meer (tel)werk.

PS2 Doorgoogelen leert dat het hier draait om permutaties zonder vaste punten, de zogenaamde derangements.
Zie http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement .
Voor n=10 is de precieze uitkomst 3628800/1334961. Dat wijkt nog minder af van e.

donderdag 9 december 2010

©2001-2024 WisFaq