De oppervlakte van een dodecaëder

Hallo, ik heb de formule voor de oppv van een dodecaeder gevonden op internet, het is namelijk: 3(25+105)a² Ik kan er maar niet achter komen hoe ze aan deze formule komen, terwijl het bij de andere vormen juist niet zo erg moeilijk te herleiden is. Zouden jullie stap voor stap kunnen laten zien hoe ze aan deze formule zijn gekomen? Thanks

marijk
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 5 januari 2003

Antwoord

Hoi Marijke,

Een dodecaëder (Engels = 'Dodecahedron') bestaat uit 12 vijfhoekige vlakken. Indien we de oppervlakte van een vijfhoek kunnen bepalen, dan kunnen we ook de oppervlakte van de dodecaëder bepalen, want da's gewoon de oppervlakte van één vijfhoek × 12. Dus we gaan een formule proberen te vinden waarmee we de oppervlakte van een vijfhoek kunnen bepalen.

Misschien is 't eerst handig om een algemene formule voor de oppervlakte van een regelmatige veelhoek (polygoon) te bepalen. Om die formule te vinden kun je kijken op:

http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html.

Daar staat de volgende formule A = ¹/₂nR² sin(2$\pi$/n) waarbij A staat voor 'area' oftewel oppervlakte, de n voor het aantal zijden en R = de straal van de omgeschreven cirkel.

Een regelmatige vijfhoek (pentagoon) heeft 5 zijdes. Dus n = 5 en de straal van de omgeschreven cirkel is 1/10 · √(50 + 10√5). Dat kun je opzoeken in de tabel onderaan de site. De berekening van R kun je uitvoeren via de formules die je als eerste ziet staan op de site.

Om nu de oppervlakte van één pentagon te berekenen vul je in de formule ¹/₂nR² sin(2$\pi$/n) voor n = 5, R = 1/10 · √(50 + 10√5). Je krijgt dus ¹/₂·5·(1/10 · √(50 + 10√5))²·sin(2$\pi$/5) berekening via GRM levert ongeveer 1,720477401 op, indien je de formules strikt had gevolgd kreeg je de exacte uitkomst ¹/₄·√(25 + 10√5).

Maar aangezien een dodecaëder 12 pentagonen bevat, moet je de gevonden oppervlakte vermenigvuldigen met 12.
Je krijgt dan voor een regelmatige dodecaëder 20,64572881... want dat is 3√(25 + 10√5).

Maar dat is de uitkomst voor iedere zijde = 1 (regelmatige pentagon), indien je nu de lengte van de zijde a noemt en dan dezelfde stappen onderneemt om de oppervlakte te berekenen van één vijfhoek, dat × 12 dan kom je uit op de formule beschreven op de door jou genoemde site.

Aanvullende informatie voor 't berekenen van de oppervlakte van één pentagon op http://mathworld.wolfram.com/Pentagon.html.

Groetjes,

zondag 5 januari 2003

©2001-2024 WisFaq