Uitkomsten controleren met de negenproef

Maandag zijn het examens en ik ben nu heel goed aan het studeren voor wiskunde want dat hebben we eerst maar de leerkracht zegt dat we onze uitkomsten van cijferen moeten controleren!

Ellen
2de graad ASO - zaterdag 6 december 2003

Antwoord

Op Wie was de ontdekker van de negenproef? kan je lezen dat de 'negenproef' al een oude methode is om een vermenigvuldiging te controleren.

Een voorbeeld
Iemand schrijft: 12348 x 39911 = 492721028
Klopt dat?

Je kunt nu natuurlijk de vermenigvuldiging zelf doen en kijken of je hetzelfde antwoord vindt. Je kent dat wel: onder elkaar zetten... enz.

Stel je nu voor dat je dit sneller wilt kunnen zien! Daar gebruik je de 'negenproef' voor. Ik berekenen links de rest van het delen van 12348 en van 39911 door 9. Dat doe ik rechts ook:

12348 x 39911 = 492721028
Alles delen door 9 en alleen de rest opschrijven:
0 x 5 = 8
...de conclusie is: dit kan niet kloppen!

Waarom met 9?
Om te controleren of een getal deelbaar is door 9 kan je cijfers optellen. Op Bewijs deelbaarheidsproef van 9 kan je zien waarom dat zo is.

Het is zelfs nog beter: je kunt de cijfers optellen en heel eenvoudig ook de rest bepalen bij delen door 9.

Voorbeeld
Wat is de rest van 39911 bij delen door 9?
3+9+9+1+1=23
23:9=2 rest 5
(of gewoon 2+3=5)
Dus 39911:9=... rest 5.
Dus zonder 'echt' te gaan delen kan je toch iets zeggen over de rest bij delen door 9.

Daarom gebruik je 'delen door 9'!

Rekenen met resten
We kijken naar een ander voorbeeld:
24 x 11 = 264
Laten we eens naar de 'resten' gaan kijken bij delen door 9:
6 x 2 = 3
Klopt dat?
Ja! Immers 6x2=12 en dat geeft bij delen door 9 rest=3. Dus kennelijk geldt:
rest x rest = rest (maar dan wel alles als rest van delen bij 9).

Conclusie
Bij
12348 x 39911 = 492721028
0 x 5 = 8
Kan de vermenigvuldiging niet kloppen, want 0x5=0 en geen 8, dus is het antwoord fout.

Voorbeeld
Hier onder staan 2 vermenigvuldigingen. Welke van de twee is zeker fout?
741 x 852 = 633132
963 x 258 = 248354

741 x 852 = 633132
Als resten bij delen van 9:
3 x 6 = 0
Kan kloppen!

963 x 258 = 248354
0 x 6 = 8
Nee, dat kan niet kloppen... dus de tweede is zeker fout!

Niet fout is niet hetzelfde als goed!
De eerste berekening uit het voorbeeld hierboven is toch fout! Er staat:
741 x 852 = 633132
Maar dat klopt niet, want:
741 x 852 = 631332
Je ziet de middelste twee cijfers waren verwisseld! Maar ja, dat haal je er met de negenproef natuurlijk niet uit!

Delen
De 'negenproef' kan je ook gebruiken bij het delen. Een voorbeeld:
123 : 3 = 41
Klopt dat?
Als dat klopt dan moet 41 x 3 = 123
We kijken weer naar de resten:
5 x 3 = 6
Klopt dat nu?
5 x 3 = ... rest 6 en dat klopt, dus het zou goed kunnen zijn.

2211 : 333 = 6 rest 213
Klopt dat?
Er moet nu gelden:
2211 - 213 = 6 x 333
We kijken weer naar de resten:
6 - 6 = 6 x 0
0 = 0
Dus het zou kunnen kloppen!
Zie ook Negenproef toepassen.

zaterdag 6 december 2003

©2001-2024 WisFaq