Verschillende toepassingen van complexe getallen

Complexe getallen gebruik je o.a. bij ...graadsvergelijkingen. We weten dat complexe getallen ook iets te maken hebben met trillingen en fractals, maar het verband snappen we niet, kunt hier iets over uitleggen.
We weten ook dat het gebruikt wordt met kaarttekenen... maar hoe?
alvast bedankt
Groetjes

Cas &
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 21 september 2003

Antwoord

Je weet dat als je twee complexe getallen optelt, vermenigvuldigt of deelt, etc dat je weer een complex getal krijgt.

Ik neem ook aan dat je iets weet over het complexe vlak: je kunt ieder complex getal weergeven door een punt in het complexe vlak.

Eerst maar eens de optelling:
als je 2+3i en 1+5i optelt krijg je 3+8i;
als je a+bi en 1+5i optelt krijg je (a+1)+(b+5)i

Je kunt dit op de volgende manier bekijken:
De functie f(a+bi)=a+1+(b+5)i verschuift het punt z=a+bi 1 naar rechts en 5 naar boven.

Laten we nu eens kijken naar de vermenigvuldiging met i:
(a+bi)i=ai-b=-b+ai.
Kies eens een aantal punten en vermenigvuldig het bijbehorende getal met i,en teken het resultaat: je zult zien dat het resultaat ontstaat door het oorspronkelijke punt om O te draaien over 90° linksom.
Dus de functie f(z)=iz roteert(draait) het oorspronkelijke punt 90° linksom.
Als je nu het resultaat weer met i vermenigvuldigt draai je weer 90°. Na vier keer ben je op je uitgangspunt terug.
Dat herhaald toepassen van zo'n functie noemen we itereren.
We noteren de rotatie over 90° linksom gemakshalve als f(z_n+1)=iz_n. De rij complexe getallen die zo ontstaat is periodiek met periode 4!
Rotaties en verschuivingen worden afbeeldingen genoemd.

Tussenvraag: onderzoek eens wat de afbeelding f(z_n+1)=(1+i)z_n doet. Kom je dan na een aantal keren weer op je uitgangspunt terug? Wat gebeurt er na een heleboel stappen? En hoe zit dat met (1+i)z/Ö2?
(Als je een TI-83 ter beschikking hebt kun je gemakkelijk de uitkomsten berekenen)

Bekijk nu de afbeelding f(z_n+1)=z_n²
Bijvoorbeeld (1+2i)²=(1+2i)(1+2i)=1+2i+2i-4=-3+4i.
De afstand van 1+2i tot O is Ö5, die van -3+4i tot O is 5. Als je nu nog een keer kwadrateert wordt de afstand tot O nog veel groter (deze afstand wordt weer gekwadrateerd.) Als je een punt neemt dat een afstand tot O heeft die kleiner is dan 1 wordt de afstand tot O steeds kleiner.

Dus deze afbeelding heeft tot gevolg dat alle punten binnen de "eenheidscirkel" na heel vaak "itereren" uiteindelijk tot O naderen, alle punten op de eenheidscirkel weer op de eenheidscirkel terecht komen (wel vaak ergens anders) en voor alle punten buiten de eenheidscirkel "ontploft" de zaak op den duur.

Fractals

Wat heeft dit hele verhaal nu met fractals van doen?

De bekende Julia en Mandelbrot fractals ontstaan door te kijken naar de afbeelding: f(z_n+1)=z²+c.
Daarbij is c een complex getal.

De Mandelbrotfractal is een plaatje van de Mandelbrot verzameling: We kiezen als eerste z z₀=0. De Mandelbrot verzameling zijn alle punten c waarvoor de functie f(z_n+1)=z²+c niet ontploft (hoe vaak je ook itereert.)

De Julia fractal ontstaat door bij een gekozen waarde van c te kijken voor welke beginwaarden van z de zaak niet ontploft. De rand van het begrensdheidsgebied is de Julia fractal.

Mooie gekleurde plaatjes van deze fractals worden gemaakt door te kijken na hoeveel ieraties de afstand tot O boven een grenswaarde is gekomen. Voor ieder aantal iteraties een andere kleur kiezen levert dan mooie kleurpatronen.
Plaatjes van de Mandelbrot fractal de Julia fractal kun je waarschijnlijk wel vinden met behulp van Google of door op Wisfaq te zoeken.

Op Wisfaq zijn veel vragen over fractals en over complexe getallen al behandeld. Zoeken op deze woorden moet zeker meer informatie leveren.

Kaarttekenen

Over het verband tussen kaarttekenen en complexe getallen: daar heb ik niet zoveel informatie over.

Misschien kun je het wel zo zien: Denk je eens in dat je op het complexe vlak een bol legt die dit vlak in de oorsprong raakt. Noem dit punt even de zuidpool. Noem het punt op de bol bovenaan even de noordpool. Je kunt dan vanuit de Noordpool door ieder punt op de bol een lijn tekenen die het complexe vlak in een punt P snijdt. Zo kun je ieder punt op de bol afbeelden op een punt in het vlak. En dat is toch wat kaarttekenaars doen? Kortom: je hebt een verband tussen twee getallen (de coordinaten op de bol) en twee nieuwe getallen: het punt in het vlak. En je weet inmiddels dat je zulk soort verbanden met behulp van complexe functies makkelijk kunt beschrijven.

• Zie ook Conformal map

Trillingen

Over het verband met trillingen.

Stel je eens een slinger voor:
Als de slinger op zijn hoogste punt is is uitwijking maximaal en zijn snelheid nul. Beneden is de uitwijking nul en de snelheid maximaal. Daarna schiet ie door naar de andere kant, snelheid weer nul, uitwijking maximaal, dan weer terug door het laagste punt tot het oorspronkelijke hoogste punt.
Uitwijking en snelheid zijn periodiek: het zijn sinusoiden.
Je kunt nagaan dat de ene een kwart periode voorloopt (of acherloopt) op de andere.
Je kunt die twee in een complex getal stoppen bijvoorbeeld zo: z=cos(t)+i.sin(t).

In wisselstroomkringen is het nu zo dat stroomsterkte en spanning ook op deze manier kunnen worden weergegeven. De grap is nu dat op het moment dat je spoelen of condensatoren opneemt in je schakeling je het effect hiervan heel mooi met complexe getallen kunt weergeven. Maar ja, dat is natuurkunde en we zijn hier niet op Fysfaq.......

maandag 22 september 2003

©2001-2024 WisFaq