Bepalen of een verzameling een lineaire deelruimte is

Hoe kan ik nu het best efficient bepalen of een bepaalde verzameling een lineaire deelruimte is?

Stel ik heb de verzameling A = { ( a, b, a - b) | a,b in R }
Allereerst vul ik voor a en b 0 in, om te bepalen of de 0-vector in de verzameling zit.
Dat is zo, (0,0,0) is onderdeel van A.
Vervolgens is het de bedoeling dat wat voor waarde ik ook van a en/of b invul, de vector in hetzelfde vlak is.
Klopt dit?
In het geval dat R², bijvoorbeeld A = { (2a , b) | a, b in R} is het dus de bedoeling dat ten eerste a=0 en b=0 onderdeel is van A, maar dat verder, voor elke waarde a,b, de vector op 1 lijn ligt.
Is dit niet zo is de verzameling geen lineaire deelruimte.
Klopt dit?

Maar wat als, bijvoorbeeld, R⁵? Ik kan me geen meetkundige voorstelling maken van zo'n deelruimte, hoe kan ik dat het beste aanpakken?

Pieter
Student universiteit - zondag 3 oktober 2010

Antwoord

In uw eerste voorbeeld, zijn de vectoren van A precies de lineaire combinaties a(1,0,1) + b(0,1,-1) van (1,0,1) en (0,1,-1). Daar deze twee vectoren lineair onafhankelijk zijn, vindt men een tweedimensionale lineaire deelruimte (opgespannen door die twee vectoren).
Formeel bewijst men dat A een lineaire deelruimte is van ³, door te bewijzen dat de 0-vector in A zit en, met twee elementen X en Y van A, ook elke lineaire combinatie lX + mY.
In uw tweede voorbeeld is A de tweedimensionale lineaire deelruimte opgespannen door (2,0) en (0,1). Deze valt samen met ².
In ⁵ is bijvoorbeeld A={(3a+c,b,a+b+c,2b-c,3c)/a,b,c in } de driedimensionale lineaire deelruimte opgespannen door (3,0,1,0,0),(0,1,1,2,0) en (1,0,1,-1,3).
Het gaat er dus om dat er in elke coördinaat een veelterm in a,b,c,d,.. staat waarvan alle termen graad 1 hebben. Zo'n veelterm kan bijvoorbeeld zijn 3a-2d of a+b+d, maar niet 2a+3 of b²+d of ac-d.

dinsdag 19 oktober 2010

©2001-2024 WisFaq