Het maximum is tweemaal het minimum

Gegeven: Van x + 1/(x+a)is het maximum gelijk aan tweemaal het minimum. Bepaal a en schets de grafiek. Opmerking: Oplossen zonder te differentieren!
Mijn berekening: Stel y(min)= (x²+ax+1)/(x+a), dan geldt
x²+ax+1=yx+ya ® x²+ax-yx+1-ya=0®x²+(a-y)x+(1-ya)=0
Voor een extreem geldt Discriminant=0
(a-y)²-4.1(1-ya)=0®a²-2ay+y²-4+4ay=0®(y+a)²=4®y=2-a! x top(min)=(-b/2a)= -a/2 Verder geldt: y(min)=y(asymp)+y(kromme), maar y(asymp)=x en in een extremum minimum zelfs x top(min). Nu substitueren:
2-a= (-a/2)+ 1/({(-a/2)+1}®3a²-8a+4=0®(a+2)(a+2/3)=0
Dit klopt niet want het juiste antwoord is a=6
Wie zet mij op het juiste spoor? Bij voorbaat hartelijk dank!

Johan
Student hbo - vrijdag 17 september 2010

Antwoord

Beste Johan,
Hier is een mogelijkheid:
y = x + 1/(x+a)= (x+a) + 1/(x+a) -a = t + 1/t -a, waarbij we voor het gemak t hebben geschreven ipv (x+a)
Nu stelt y = t +1/t voor t0 een tak van een hyperbool voor.
Gaat naar oneindig voor t dalend naar 0 en kruipt naar de lijn y = t voor t stijgend naar oneindig.
Voor t= 1 is er een minimum, want t+1/t = 2 +(s-1/s)² waarbij s²=t.
Dus voor t0 heeft y=t+1/t -a een minimum gelijk aan 2-a.
Op dezelfde manier voor t0 heeft t+1/t eem maximum -2
(het deel van y=t+1/t voor t0 krijg je door door de grafiek 180 te draaien om de oorsprong; (het punt (t,y)=(0,0) ) Immers f(t)=t+1/tis een zg oneven functie:f(-t)= -f(t).
Dus het maximum voor t0 is -2 -a en dat moet 2 keer zo groot zijn als 2-a.
Nou zo kom je er wel uit zou ik denken.
Succes ermee
m vr gr

JCS
zaterdag 18 september 2010

©2001-2024 WisFaq