Numeriek differentiëren en nulpunten benaderen

Ik ben bezig voor mijn PO wiskunde, met als onderwerp De Methode van Newton(-Raphson). Ik gebruik Getal & Ruimte wi VWO B deel 2, mocht dat iemand helpen.
Ik ben nu bezig met de suggesties voor verder onderzoek, om precies te zijn ben ik op zoek naar andere methoden om nulpunten te berekenen en ik moet uitzoeken wat numeriek differentiëren inhoudt.

Ik heb al wat methodes gevonden die ook nulpunten berekenen, maar daar mis ik nog een klein beetje informatie over die ik nergens (duidelijk uitgelegd) kan vinden.
De bisectiemethode en de Regula Falsi.
Ik wil graag weten hoe deze methodes convergeren, volgens mij convergeren ze allemaal lineair op Newton-Raphson na, maar zeker weten doe ik het niet.
Ik weet ook niet zeker of ik zeker weet wat kwadratisch convergeren precies betekent, het zou heel fijn zijn als iemand mij dat ook kon uitleggen.

Ik heb met name op deze site al wel dingen gevonden over Numeriek differentiëren, maar ik snap eigenlijk nog steeds niet wat het precies inhoudt. Ik moet daarnaast ook enkele formules geven die hier mee te maken hebben, maar ik zou niet weten wat voor formules. Ik neem aan dat numeriek differentiëren niets te maken heeft met het bereken van de afgeleide.

Alvast heel erg bedankt en sorry voor de enorme lap tekst.

CLT
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 15 mei 2010

Antwoord

zij x₁,x₂,x₃,...... x_k een aantal iteraties met limiet x^·. Dan geldt uiteraard dat f(x^·)=0 omdat je namelijk nulpunten zoekt. M.a.w. x· is het werkelijke nulpunt dat je niet kent maar wel wilt benaderen.
Lineaire convergentie wil zeggen dat er een a met 0a1 bestaat zodanig dat |x_k-x^·|a|x_k-1-x^·| Met andere woorden het verschil van de schatting met de werkelijke waarden wordt per iteratie met minimaal een constante factor (bv a=0,3) verkleind.
Kwadratische convergentie betekent |x_k-x^·|a|x_k-1-x^·|² en dat schiet veel sneller op wanneer die laatste term tussen de 0 en 1 ligt.
Newton Rapson convergeert kwadratisch echter alleen wanneer x^· een enkelvoudig nulpunt is (ander lineair).
Bisectie convergeert lineair met a=0,5
Voor regula falsi geldt dat de convergentie sneller dan lineair verloopt wanneer in de iteraties beide eindpunten veranderen. En dat is meestal zo. Deze snellere convergentie staat bekend als superlinear. Zelf verder zoeken.

Leuk is de methode van Aitken waarmee je lineaire convergentie nog kunt versnellen.

Maar......................... dit alles is numeriek oplossen van vergelijkingen en dat is dus NIET numeriek differentieren.......... en er bestaat nog zo iets als numeriek integreren en dat laatste is absoluut interessanter.

Met vriendelijke groet
JaDeX

Zie Versnelling lineaire convergentie volgens Aitken / Steffensen

maandag 17 mei 2010

©2001-2024 WisFaq