Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde
Vraag1: Kunt U/kunnen jullie mij een MAKKELIJK en BEGRIJPBARE en AUB NIET TE OMSLACHTIGE bewijs geven van: f(x)= xn --> f'(x)= n xn-1 voor n € R
Ik heb zelf al een paar bewijzen gezien, maar die waren te omslachtig met teveel substituties enzo. Het is voor mijn profielwerkstuk, dus het zou heel fijn zijn als jullie.u snel zouden/zou kunnen reageren
Vraag2: Kunnen jullie mij ook een simpele maar toch voldoende methode geven van hoe je differentiaalvergelijkingen van de tweede orde (homogeen/inhomogeen, met of zonder constante coëficiënten) kunt oplossen?
Heel hartelijk bedankt.
P.s. Het antwoord op de eerste vraag is het belangrijkst!! DIe heb ik het meest nodig
stefan
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 31 december 2002
Antwoord
1. de te gebruiken ingredienten:
* de def. van de afgeleide van een functie gedefinieerd door f(x) is lim h®0 {f(x+h)-f(x)}/h
* (a+b)n=åi=0 tot n{n boven i}an-ibi
= 1.anb0 + n.an-1b1 + 1/2n(n-1).an-2b2 + ...
= an + n.an-1b + 1/2n(n-1)an-2b2 + ...
Welnu, luidt je functievoorschrift f(x)=xn
dan wordt de afgeleide gedefinieerd door:
f'(x)=lim h®0 {(x+h)n - xn}/h
de eerste term in de teller, (x+h)n kun je vergelijken met wat ik hiervoor gezegd heb over (a+b)n
Dus (x+h)n= xn + n.xn-1h + 1/2n(n-1)xn-2h2 + ...
Je ziet dus gelijk dat in de teller van de breuk de termen xn tegen elkaar wegvallen.
Wat je overhoudt is dus:
f'(x)=limh®0 (n.xn-1h + 1/2n(n-1)xn-2h2 + ...)/h
(nu delen door h)
= limh®0 (n.xn-1 + 1/2n(n-1)xn-2.h + ...)
Wanneer je nu de limiet daadwerkelijk toepast, valt alles met een h erin, "in het niet", en hou je dus n.xn-1 over
Zodoende is van f(x)=xn
f'(x)=n.xn-1
2.
Er is geen eenduidige manier van 2e-orde diff.vergelijkingen oplossen.
Voorbeelden:
f"(x)=a Þ f'(x)=ax+b Þ f(x)=1/2ax2+bx+c
f"(x)+a.f(x)=0 Þ f(x)=A.cos(x a) + B.sin(xa) (deze dv komt voor bij harmonische trillingen)
f"(x)+af'(x)+bf(x)=0 geeft iets als
f(x)=A.eqx.cos(wx+f)
(deze dv komt voor bij gedempte trillingen)
Zoals je ziet: het hangt van de vorm van de 2e-orde dv af, wat voor 'n soort oplossing eruit moet komen, er bestaat niet EEN bepaald format voor.
groeten,
martijn
mg
woensdag 1 januari 2003
©2001-2024 WisFaq
|