Hoe bereken ik de dimensie van de Koch-Kromme

Hallo,
Ik moet voor wiskunde een dossieropdracht over fractals maken en hierbij vragen beantwoorden. Nu moet ik dus de dimensie van de Koch-Kromme berekenen, door middel van het invullen van een tabel.
Deze tabel bestaat uit
R = de lengte van de ribbe van de kubusjes
K = de verkleiningsfactor
N = het aantal kubusjes voor overdekking
D = dimensie
Nu weet ik wel hoe ik de dimensie moet berekenen (log n - log c / log k), maar ik heb geen idee wat de R, K en N voor de Koch-Kromme zijn en hoe ik hier achter kan komen. Ook weet ik niet wat de constante is hier? Kan iemand mij misschien helpen?

Bij voorbaat dank!

N.
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 6 mei 2010

Antwoord

Voor de Koch-kromme kan je ook in lijnstukjes rekenen. Beginnend bij een lijnstuk voor lengte 1, wordt deze onderverdeeld in 4 lijnstukken van lengte 1/3. Bij de deellijnstukjes ga je hiermee door, dan heb je er dus 16 van lengte 1/9.

Oftewel, na n iteraties heb je 4ⁿ lijnstukjes van lengte 1/3ⁿ. De fractale dimensie is dan

D=-log(4ⁿ)/log(1/3ⁿ)=log(4)/log(3)=1.26

Let op dat de oppervlakte onder de curve eindig is, terwijl de omtrek oneindig wordt. In de natuur kom je zoiets bijvoorbeeld tegen in wolken, die ook een veel grotere oppervlakte hebben dan je op basis van het volume verwacht. Succes!

Bernhard
zondag 9 mei 2010

©2001-2024 WisFaq