Differentieren wortels én machten in één

Goedendag, op school ben ik begonnen me differentieren. Opzich kom ik er aardig uit, maar differentieren met wortels én machten in één vind ik lastig. Zou u 1 som stapsgewijs uit kunnen leggen? Uit deze kom ik bijvoorbeeld niet:
x² 5emachtswortel(x²)
Hier staat dus eigelijk x² keer 5emachtswortel (x²)
x² wordt dus 2x, maar met die wortel en de uiteindelijke oplossing kom ik niet uit.

Raymon
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 3 mei 2010

Antwoord

Beste Raymond

(1) Hier is het handiger om je machten eerst wat te herschrijven en daarvoor doe je beroep op rekenregels voor machten en wortels van graad n:
x².⁵Ö(x²)
= x².x^2/5
= x^2+2/5 want x^a.x^b=x^a+b
= x^12/5

Dan wordt je afgeleide:
D(x².⁵Ö(x²))
= D(x^12/5)

Dit is nu een simpele diferentiaal: d(xⁿ) = nx^n-1dx

Voor jou dus: ¹²/₅x^7/5dx

(2) Als je dit niet zo doet kan je natuurlijk ook met die verschillende termen blijven zitten. Je hebt normaal al afgeleiden gehad. Denk dan even terug aan de regel D(f(x)g(x))=f(x)D(g(x))+g(x)D(f(x))

In jouw geval:
d(x².⁵Ö(x²))
=x²d(⁵Ö(x²))+⁵Ö(x²)d(x²)
=x².(2/5).x^-3/5dx + ⁵Ö(x²)2xdx
=[x².(2/5).x^-3/5 + ⁵Ö(x²)2x]dx
= [(2/5).x^7/5 + 2x^7/5]dx

Als bij wonder kom je hier twee termen in x uit verheven tot de macht 7/5 dus die zet je samen
= (2+2/5)x^7/5dx
= (12/5)x^7/5dx

Check even dat op beide manieren je dezelfde uitkomst bekomt. Hopelijk kan je nu verder.

Groeten

Brecht

bv
maandag 3 mei 2010

©2001-2024 WisFaq