Irreducibel bij de gehelen van Gauss

Ik heb een stukje theorie over Het begrip irreducibel bij de gehelen van Gauss. Ik kan het echter wel 100x doorlezen, maar ik kom er gewoon niet aan uit wat ze nou precies bedoelen.

"Het begrip irreducibel bij de gehelen van Gauss
Een gehele van Gauss z heet irreducibel als het geen eenheid is en als elke deler van z een eenheid is of van de vorm eenheid maal z (d.w.z. uz waarbij u een einheid is)

Voorbeeld
Neem z=2+i. We bespreken twee manieren om vast te stellen of 2+i irreducibel is.
- De eenheden zijn natuurlijk delers. Om verdere delers te vinden gebruiken we dat de norm van een deler hooguit 5 is, de norm van 2+i (zie een eerdere opgave). Omdat N(a+bi)=a²+b² volgt dat zowel a als b tussen -2 en 2 inzitten. Kandidaatdelers zijn bijvoorbeeld 1+i, -2-i enz. Als je alle mogelijkheden naloopt vind je dat de delers zijn: 1, -1, i, -i, 2+i, -2-i(=(-1)(2+i)), -1+2i(=i(2+i)), 1-2i(=-i(w+i)).
Het kost zo dus nogal wat moeite om van eeen vrij klein getal vast te stellen dat 2+i irreducibel is.
- Als we gebruiken dat de norm N(w) van een deler zelf een deler is van de norm N(2+i), dus van 5, dan gaat het een stuk sneller. Omdat 5 een priemgetal is, kan N(w) alleen maar 1 of 5 zijn. In het eerste geval is w een eenheid. In het tweede geval moet z/w norm 1 hebben en dus een eenheid zijn."

De gehelen van Gauss en zo snap ik dus wel, maar op dit stuk loop ik dus helemaal vast.

Alvast bedankt, Peter

Peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 11 april 2010

Antwoord

Beste Peter

Welk deel hiervan begrijp je niet goed?

Beide methodes zijn uiteraard juist, maar de tweede is duidelijk efficiënter.

Merk op dat de eenheden van de Gaussische gehelen precies de elementen -1, 1, -i en i zijn. Waarom is dit zo?
Het is evident dat deze elementen eenheden zijn, daar (-1).(-1)=1, 1.1=1, (-i).i=1 en i.(-i)=1. Stel nu dat het element u=a+bi een eenheid is. Dan is u=a+bi met a,b gehele getallen. Je kan zelf eenvoudig aantonen dat de norm van de eenheid u gelijk moet zijn aan 1, daar de norm multiplicatief is (d.w.z. N(x.y)=N(x).N(y) voor Gaussische gehelen x en y). Dus 1=N(u)=a²+b². Hieruit volgt eenvoudig dat enkel de koppels (a,b)=(0,1),(0,-1),(1,0) en (-1,0) voldoen. Deze getallen komen precies overeen met de resp. elementen i, -i, 1 en -1.

Frank
zondag 11 april 2010

©2001-2024 WisFaq