Bewijs van de priemgetal stelling

hallo

ik ben bezig met een werkstuk over priemgetallen en de zetafunctie. voor dat ik me vraag ga stellen leg ik even in het kort 2 functies uit.
1. de zeta functie; z(X)= de som van 1/n^x, voor n, van 1, tot oneidig.
deze som heeft bij elke x een limiet, behalve bij x=1. dit is de pool.
getallen onder de 1 kun je via domein uitbreidings trucjes ook uitrekenen. ook kun je deze functie toe passen op het gehelen complexe vlak ( behalve op de pool 1).
2.de priemgetal-telfunctie; p(x)= het aantal priem getallen kleiner of gelijk aan x. als formule,
p(x)=#{px[p priem}.
let wel op dat het pi teken hier niks temaken heeft met het getal ongeveer 3,14.

nu verder.
voor de priemgetal telfunctie is nog geen formule gevonden, wel is deze benaderd, de 2 beste benaderingen zijn;
1.p(x)^x/_ln(x)

2.p(x) een integraal van 2 tot x van de functie 1/ln(t)*dt

nummer 2 noem ik Li(x), van logaritmiche integraal.

nu komt het, bij alle 2 de benaderingen geld.
als x oneindig nadert dan dan nadert het verschil van de benadering en de functie naar 0.
dit noem je priemgetal stelling.

het bewijs hiervan heeft veel te maken met de zetafunctie.
om dit te bewijzen, moet je zeker weten dat er geen nul punten van de zeta functie zijn die het reele deel 1 hebben. hoe kan dat?
ik weet het niet en vraag het daarom aan jullie.

nu het volgende.
als je zeker weet dat alle nulpunten met een complex deel(niet triviale nul punten) van de zeta functie het reele deel 1/2 hebben (de riemann hypothese), dan kun je daar uit opmaken dat:

p(x)=Li(x)+c(Öx ln(x))

waarbij c, een constante is.

hoe kan dit? dit is mijn 2e vraag.

ik hoop dat jullie dat me snel zullen atwoorden

met vriendelijke groet

Jelmer
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 9 april 2010

Antwoord

Beste Jelmer
uitspraken 1 en 2 zeggen niet dat het verschil naar nul gaat maar, in beide gevallen, dat het quotiënt limiet 1 heeft (en dat is een veel zwakkere uitspraak). Denk aan x en x+10: het verschil is altijd 10 maar de limiet van het quotiënt x/(x+10) is 1 voor x naar oneindig.
Het volledige bewijs van de priemgetallenstelling is in het geheel niet eenvoudig; op Wikipedia staat een schets waar nog heel wat ingevuld zou moeten worden. Daar staat ook waarom het belangrijk is te weten dat de nulpunten van de zeta-functie een reëeel deel tussen 0 en 1 hebben.
Wat je tweede vraag betreft, ook dat komt uit een nauwgezette analyse van het bewijs: als je zeker weet dat de nulpunten op die lijn liggen kun je veel nauwkeuriger afschattingen maken.
Het geheel vergt heel wat kennis van integratietheorie en complexe functies.

Zie Wikipedia: Prime number theorem

kphart
maandag 12 april 2010

©2001-2024 WisFaq