Meetkundige reeks

Een opgave uit eindexamen HBS in 1957. Gegeven: van een meetkundige reeks is de eerste term x²-3x-4 en de reden (2x+3)^-1.
a) Voor welke waarden van x zijn alle termen positief?
Antwoord: Stel er zijn 'n' termen, dan t(n)=(x-4)(x+1){1/(2x+3)}^n-1 ('n' element N(+)) Uit de getallenlijn voor deze drie termen blijkt mij: voor x$>$4
b) Voor welke waarden van x is de reeks convergent? Bij de beantwoording van deze vraag moet de onder a) vermelde voorwaarde buiten beschouwing worden gelaten.
Antwoord: Als |r|$<$1, is de meetkundige reeks convergent; zodat:|[1/(2x+3)]$<$1. Ik vind: -2$>$x$>$-1
c)Druk voor de waarden van x waarvoor de reeks convergent is, de som s(x) van de reeks in x uit. Schets voor deze waarden van x de grafiek van s(x). Nu bevind ik mij op glad ijs, want mijn opleiding ging destijds niet verder dan MULO-B. M.b.v. internet vind ik: s(x)= [a/(1-r)]=
[(x-4)(x+1)/{1-{1/(2x+3)}^n-1. Maar verder zie ik het niet zitten. Wie kan dit verder voor mij oplossen? Bij voorbaat hartelijk dank.

Johan
Student hbo - dinsdag 30 maart 2010

Antwoord

Hallo, Johan.

a) Alle termen zijn positief dan en slechts dan als zowel de eerste term als de reden positief zijn, ongeacht het aantal termen.
Uit x²-3x-4 = (x-4)(x+1) 0 volgt x-1 òf x4. Maak deze twee delen van de getallenlijn rood.
Uit 1/(2x+3) 0 volgt x-3/2. Maak dit deel van de getallenlijn blauw.
De waarden van x die aan beide voorwaarden voldoen, moeten paars gekleurd zijn (want rood+blauw=paars).
Er volgt -3/2 x -1 òf x 4.

b) U bent goed begonnen, maar eindigt verkeerd.
| 1/(2x+3) | 1 dan en slechts dan als | 2x+3 | 1, dus dan en slechts dan als 2x+3 1 òf 2x+3 -1.
De eerste ongelijkheid heeft oplossing x -1, de tweede x -2.
Totale oplossing: x -1 òf x -2.

c) Het gaat blijkbaar om een oneindige meetkundige reeks. U begint goed, maar de exponent (n-1) hoort er niet bij.
Dus s(x) = a/(1-r) = (x-4)(x+1)/(1- 1/(2x+3)).
Vermenigvuldig nu teller en noemer met 2x+3.
Er komt dan (x-4)(x+1)(2x+3)/(2x+3-1) = (x-4)(2x+3)/2 = (x-4)(x+3/2).
De grafiek is van deze functie is een dalparabool die de x-as snijdt in (4,0) en (-3/2,0).
De top heeft dan x-coördinaat (4 - 3/2)/2 = 5/4, en y-coördinaat -121/16.
Schets deze parabool met potlood.
Let op: je moet een deel van de parabool hebben, namelijk het deel met x -1 òf x -2. Kleur deze twee delen van de parabool groen, en gum de rest weg.

dinsdag 30 maart 2010

©2001-2024 WisFaq