Productverzameling

Ik moet laten zien dat voor ieder tweetal groepen G1 en G2 de productverzameling G=G1xG2 onder de componentgewijze bewerking (g1,g2)·(g1',g2')=(g1g1',g2g2') een groep wordt, de productgroep.

Eerst aantonen dat deze verzameling een bewerking heeft want
g1,g1' zitten in G1 dus g1·g1' zitten ook in G1
g2,g2' zitten in G2 dus g2·g2' zitten ook in G2
er is dus een bewerking.

Nu de drie groepsaxioma's aantonen voor (g1,g2)·(g1',g2')=(g1g1',g2g2')
G1) eenheidselement
(g1,g2)·e=(g1,g2)
dus eenheidselement is (1,1)
hetzelfde ook voor
(g1',g2')·e=(g1'·g2')
dus eenheidselement is (1,1)
G2) assosiatief (a·b)·c=a·(b·c)
((a₁,a₂)·(b1,b2))·(c1,c2)=(a₁,a₂)·((b1,b2)·(c1,c2))
(a₁b1,a₂b2)(c1,c2)=(a₁,a₂)(b1c1,b2c2)
(a₁b1c1,a₂b2c2)=(a₁b1c1,a₂b2c2)
hetzelfde geldt ook voor ((a₁',a₂')·(b1',b2'))·(c1',c2')=(a₁',a₂')·((b1',b2')·(c1',c2'))
G3) inverse a·b=e
(a₁,a₂)·(b1,b2)=(1,1)
(a₁b1,a₂b2)=(1,1)
(b1,b2)=(a₁^-1,a₂^-1)
dus de inverse is (a₁^-1,a₂^-1)
dus er is hier sprake van een productgroep

klopt dit allemaal?
heel erg bedankt! groetjes

Jip
Student universiteit - dinsdag 9 maart 2010

Antwoord

Ja, wat je doet klopt: je moet (in principe) wel nog vermelden dat je gebruik maakt van het feit dat G₁ en G₂ groepen zijn, zodat je de groepsstructuur van beide groepen op triviale wijze overbrengt op het cartesisch product.
Wel zou ik in je notatie voor het eenheidselement duidelijk verwijzen aan welke groep je refereert, en zo bijvoorbeeld het eenheidselement van G₁ aanduiden met e₁, en het eenheidselement van G₂ aanduiden met e₂. Met deze notatie is het eenheidselement van G₁ x G₂ dan gelijk aan (e₁,e₂). (Wat jij doet, namelijk voor beide groepen de notatie 1 gebruiken, is zeker niet verkeerd, maar kan mogelijk voor verwarring zorgen, omdat je zou kunnen gaan denken dat deze elementen 'hetzelfde' zijn.)

Frank
vrijdag 12 maart 2010

©2001-2024 WisFaq