Vijfhoeksgetallen

Ik vond op deze site wel iets over 6-hoeksgetallen maar niet over 5-hoeksetallen. Bij de 6-hoeks stond er dat je gewoon de puntjes moest tellen maar er moet toch ergens een formule zijn om een vijfhoeksgetal te berekenen? Ik heb mijn hoofd er echt op gebroken maar helaas, zonder succes...
bestaat er dus een formule voor of iets dergelijks? En zoja, ken je me die dan geven?

Kris
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 27 december 2002

Antwoord

Als je het hebt over:

...dan is het antwoord: jazeker!

Laten we maar eens kijken naar de afleiding van de formule:


De kegelmantel laat zich uitvouwen als een cirkelsegment (zie A). De vraag is dan: wat is de oppervlakte van dit cirkelsegment?
De straal van deze cirkel is gelijk aan Ö(h²+r²). De oppervlakte van de hele cirkel zou p·(Ö(h²+r²))²=p·(h²+r²) zijn (zie C).

Het is echter geen cirkel, maar een cirkelsegment. Welk deel heb je nodig? De omtrek van de hele cirkel zou 2pÖ(h²+r²) zijn (zie de noemer bij B). Het cirkelboogje van het cirkelsegment is 2pr (zie de teller van B), dus het cirkelsegment is het 'zoveelste gedeelte' van de hele cirkel. En dat 'zoveelste gedeelte' is dan precies de uitdrukking bij B.

Als je vervolgens B en C vermenigvuldigt krijg je precies de oppervlakte van het cirkelsegment, dus de oppervlakte van de kegelmantel. Daarbij gebruik je dus de formules voor omtrek en oppervlakte van een cirkel.

Hopelijk is het duidelijk, anders horen we het wel.

Zie Pentagonal Number

vrijdag 27 december 2002

©2001-2024 WisFaq