Gonioformule integreren

In zicht van de haven stranden geldt voor mij in de volgende opgave:f(x)=Int sqr(100-x²)dx .Ik heb hierbij gebruik gemaakt van een rechthoekige driehoek met schuine zijde 10 en een rechthoekszijde x. De andere rechthoekszijde is dan sqr (100-x²).De uitwerking geeft geen enkel probleem en vind tenslotte de volgende integraal:
100Int cos²t.dt We stellen hierin cos²t=1/2(cos(2t)+1)
Dit is tot nu toe goed! Maar nu komt mijn probleem. Het goede antwoord luidt: 1/2.x.sqr(100-x²) + 50.bgsin(x/10)
Ik weet hoe ik aan 50.bgsin(x/10) kan komen, maar kan helaas geen oplossing vinden voor 1/2.x.sqr(100-x²)
Als opmerking voor substitutie: t=arcsin(x/a). Wie kan mij hiermee helpen? Bij voorbaat wederom hartelijk dank

Johan
Student hbo - maandag 16 november 2009

Antwoord

Beste Johan,

Het integreren van 100.cos²t via die formule zou moeten leiden tot:

50t + 100.sin(2t) = 50t + 50.sin(t).cos(t)

Via t = bgsin(x/10) heb je met de eerste term al een stuk gevonden. Voor de tweede term:

50.sin(t).cos(t) = 50.sin(bgsin(x/10)).cos(bgsin(x/10))

Hierin is sin(bgsin(x/10)) = x/10. Voor cos(bgsin(x/10)) kan je goniometrische formules gebruiken of nog eens kijken in de rechthoekige driehoek waarvan je gestart was. Wat is de cosinus van een hoek waarvan de sinus x/10 is?

mvg,
Tom

vrijdag 20 november 2009

©2001-2024 WisFaq