Relatie richtingsafgeleide, gradiënt, en richtingsvector

Ik weet (puur qua definitie) wat een gradiënt en richtingsvector is. En de richtingsafgeleide is het inproduct van de gradiënt en de richtingsvector.

Ik begrijp alleen de samenhang niet, bij de toepassing. Twee voorbeeld vragen kunnen dit illustreren:

"Bepaal de gradiënt van de volgende functie in punt (x, y, z) = (1, 0, 1)."
Als ik het goed begrijp is (1, 0, 1) een punt, en dus GEEN richtingsvector? Stel de gradiënt is (2x, 2y, 3z). Is de gradiënt in punt (1, 0, 1) dan (2, 0, 3) ? Of moet je de gradiënt dan toch "inproducten" met de genormaliseerde versie van de vector (1, 0, 1) ?

Andere voorbeeld vraag:
"Bepaal voor de volgende functie de richting waarin de fucntie in punt (x, y) = (1, 1) het snelst toeneemt."

Dan bepaal ik eerst de gradient van de functie. (Gradient wijst immers in richting maximale toename.)
Ik heb dan in die gradiënt x en y vervangen door 1.
Dan krijg je dus een vector met getallen, bijv. (3.13, 0.006).
Wat stelt deze vector voor?
Is dit de richtingsvector?

Agnes
Student universiteit - dinsdag 15 september 2009

Antwoord

Hallo, Agnes.
Op uw eerste vraag is het antwoord 'ja', op de tweede ook 'ja', op de derde 'nee'.
Toelichting bij de derde: het inproduct van de gradient in een bepaald punt met een genormaliseerde richtingsvector is een GETAL dat aangeeft met hoeveel eenheden de functie ongeveer toeneemt als je vanuit dat punt een stapje ter grootte van één eenheid in de richting van die richtingsvector zet (de benadering is beter naarmate de eenheid kleiner is).
Op uw vierde vraag is het antwoord: inderdaad de gradiënt in dat punt (1,1)!
Op uw vijfde vraag is het antwoord: het is niet DE richtingsvector, maar EEN richtingsvector, namelijk in de richting waarin de functie vanuit het punt (1,1) het snelst toeneemt.
Succes verder.

dinsdag 15 september 2009

©2001-2024 WisFaq