De Dirichlet kern

Hallo wisfaq,

Ik wil laten zien dat de som

SOM[e^(i*n*x)/n] met 0|n|=N

uniform begrensd is in N en x in [-pi,pi] door gebruik te maken van het volgende gegeven

(1/2i)SOM[e^(inx)/n]=SOM[sin(nx)/n]=(1/2)INT[(D_N(t)-1]dt

de eerste som geldt voor 0|n|=N
de tweede som voor n=1 t/t N
de integraal gaat van 0 tot x.
en D_N is de Dirichlet kern.

Ik weet ook dat INT[sin(t)/t]dt=pi/2 , integraal van 0 tot oneindig.

Ik begrijp niet hoe ik nu met deze gegevens moet aantonen dat de som uniform begrensd is.

Groeten,

Viky

Viky
Student hbo - dinsdag 4 augustus 2009

Antwoord

Het gaat dus om de integraal van (sin(N+1/2)t)/sin(t/2)); die kun je in stukjes verdelen, tussen de nulpunten van de teller. Die deelintegralen zijn beurtelings positief en negatief en omdat sin(t/2) op het interval [0,Pi] stijgend is vormen de absolute waarden van die deelintegralen een dalende rij.
Dit impliceert dat de integraal positief is en kleiner dan de integraal over het eerste intervalletje, dat gaat van 0 tot 2p/(2N+1). De maximale functiewaarde is 2n+1 (de limiet voor t naar 0). Conclusie: de integraal is kleiner dan of gelijk aan 2p en dat is onafhankelijk van N en x.

kphart
vrijdag 7 augustus 2009

©2001-2024 WisFaq