Zes dobbelstenen

Hoe groot/klein is de kans dat je bij het éénmaal werpen van zes dobbelstenen tegelijk een resultaat van 32 of meer krijgt?

René S
Iets anders - dinsdag 28 juli 2009

Antwoord

Beste René,

Jouw vraag luidt: bepaal P(X 32) waarbij X de som van het aantal ogen is als je met 6 dobbelstenen gooit. Dus eigenlijk wil je P(X 32) = P(X = 32 of X = 33 ... of X = 36) = P(X = 32) + P(X = 33) + P(X = 34) ... + P(X = 36) bepalen.

Als voorbeeld kunnen we P(X = 32) berekenen. Het is eenvoudiger om de 6 ogen te splitsen in 2 groepjes van 3. Zodat de vraag wordt: a + b = 32 waarbij a de som van de ogen van de eerste 3 dobbelstenen is, en b de som van de laatste 3.
De mogelijkheden voor (a,b) zijn dan (14,18),(15,17) en (16,16) zonder op de volgorde gelet te hebben (want a = 14 en b = 18 levert dezelfde som op als a = 18 en b = 14).

Dit wetende komt het erop neer om het aantal mogelijkheden om met 3 dobbelstenen 14, 15, 16, 17 en 18 te gooien te achterhalen en daarna te kijken op hoeveel manieren dit gerangschikt kan worden.

Gebruik hiervoor dit pdf-bestandje.
Je kunt 14 gooien door 2-6-6, 3-6-5, 4-5-5 of 4-6-4 te gooien (zonder op volgorde te letten).
Je kunt 15 gooien door 3-6-6, 4-6-5 of 5-5-5 (wederom volgorde komt later!).
Je kunt 16 gooien door 4-6-6 of 5-6-5 (idem)
Je kunt 17 gooien door 5-6-6 (idem)
Je kunt 18 gooien door 6-6-6 (idem).

Dus 14 + 18 kan bereikt worden door 2-6-6-6-6-6 of 3-6-5-6-6-6 of 4-5-5-6-6-6 of 4-6-4-6-6-6. Hierbij levert de eerste helft de "14" op en de tweede helft de "18". Nu moeten we kijken op hoeveel manieren dit gerangschikt kan worden, want de laatste 3 ogen hoeven natuurlijk niet persé 6-6-6 te zijn. Dus de vraag luidt: op hoeveel manieren kunnen 2-6-6-6-6-6, 3-6-5-6-6-6, 4-5-5-6-6-6 en 4-6-4-6-6-6 gerangschikt worden? Het zal niet moeilijk in te zien zijn dat 2-6-6-6-6-6 op 6 manieren gerangschikt kan worden (de '2' kan namelijk de eerste of de tweede ... of de zesde plek innemen, en dat zijn allemaal verschillende mogelijkheden). 3-6-5-6-6-6 kan op 6!/4! = 30 manieren gerangschikt worden. 4-5-5-6-6-6 kan op 6!/(2!·3!) = 60 manieren gerangschikt worden. En 4-6-4-6-6-6 kan op 6!/(2!·4!) = 15 manieren gerangschikt worden.
Dus de "14 + 18"-mogelijkheid die voor som 32 zorgt kan op 111 manieren bereikt worden.

Analoog kan 15 + 17 bereikt worden door 3-6-6-5-6-6, 4-6-5-5-6-6 of 5-5-5-5-6-6. Nu kun je zelf het aantal rangschikkingen bepalen.

En 16 + 16 door 4-6-6-4-6-6, 4-6-6-5-6-5 of 5-6-5-5-6-5. Bepaal hier zelf de rangschikkingen.

Het is eveneens van belang om te controleren of je geen mogelijkheden dubbel geteld hebt! Zo is 3-6-6-5-6-6 een mogelijkheid van "15 + 17", maar een andere volgorde van diezelfde cijfers, namelijk 3-6-5-6-6-6, behoorde al tot "14 + 18"!!

Tel de unieke rangschikkingen van de "14 + 18" en de "15 + 17" en de "16 + 16" mogelijkheid bij elkaar op, laten we zeggen dat hier 'd' uitkomt.
Dan is P(X = 32) = ^d/_6⁶ = ^d/₄₆₆₅₆.

Ditzelfde helse karwei doe je ook voor P(X = 33) t/m P(X = 36), waarna je de kansen optelt.

Dit kan uiteraard veel makkelijker met een programma bepaald worden. De programmeercode (hiervoor heb ik Turbo Pascal 5.5 gebruikt) kun je hier vinden en het programma zelf kun je hier downloaden.
M.b.v. dit programma kun je achterhalen dat P(X = 32) = 126/46656, P(X = 33) = 56/46656, P(X = 34) = 21/46656, P(X = 35) = 6/46656 en P(X = 36) = 1/46656.

Gecombineerd P(X 32) = 210/46656.

Ik heb het programma trouwens iets uitgebreid, nu geeft hij ook de kans dat P(X = k) en P(X k). Download 't nieuwe programma HIER.
Voor geïnteresseerden kan de programmeercode hier gevonden worden.

Gr. Davy.

woensdag 29 juli 2009

©2001-2024 WisFaq