Oppervlakte berekenen met behulp van primitiveren

Beste meneer, mevrouw,

Ik heb de volgende som:
Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijn y=ln(2). Gegeven is de functie f(x)=ln(x²+1).

Allereerst heb ik een schets gemaakt en de snijpunten van f(x) en ln(2) berekent. Hierbij kwam ik op de grenzen van de integraal '1' en '-1'. Ik heb toen om O(V) te berekenen de volgende integraal genomen: ̣ln(2)dx-̣ln(x²+1)dx. De eerste integraal was niet zo moeilijk om te berekenen. Hier heb ik namelijk uit: 2ln(2)-2. Bij de tweede integraal heb ik echter geen idee hoe ik dit moet doen. Ik ben al begonen met de substitutiemethode door u=x²+1 te stellen, maar weet vervolgens niet wanneer je de afgeleide van u hebt berekent of je du=2xdx mag delen door 2x. Doe ik dit en reken ik verder, dan weet ik nog niet hoe ik verder moet.
Zou u me kunnen helpen?

Met vriendelijke groeten,

Lynn
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 27 juni 2009

Antwoord

De primitieve van de functie f(x) = ln(x²+1) is niet heel eenvoudig.
Ik geef je alvast het resultaat: F(x) = -2x + 2arctan(x) + xln(x²+1)
Het hangt er nu vanaf of je bekend bent met de functie y = arctan(x).
Deze functie hoort niet tot de reguliere stof van de bovenbouw VWO.
Ben je er niet mee bekend, dan is de vraag naar een exacte berekening onmogelijk.
En zo ja, dan kun je juistheid van de primitieve alvast controleren met een differentiatie. Je kunt het antwoord zelf vinden via partiële integratie.

MBL
zaterdag 27 juni 2009

Re: Oppervlakte berekenen met behulp van primitiveren

©2001-2024 WisFaq