Convolutieproduct

Hoi wisfaq,

Een functie h is van gematigde groei als h continu is en als er een constante bestaat A0 zodat

|h(x)|= A/(1+(x)²) voor alle x reëel.

Ik wil aantonen dat als f en g twee functies zijn van gematigde groei, dan is het convolutieproduct van f en g ook van gematigde groei,dat is

(f·g)(x)=INT[f(x-y)g(y)dy]= C/(1+(x²)) voor een C0.

Ik heb de volgende hint

INT[f(x-y)g(y)dy]=INT1[f(x-y)g(y)dy]+INT2[f(x-y)g(y)dy]

waar INT1 geldt voor |y|=|x|/2 en INT2 geldt voor |y|=|x|/2

en in INT1 geldt |f(x-y)|=O(1+(x²)) en in INT2 geldt dat |g(y)|=O(1+(x²)).(O is here big O)Dus,
|f(x-y)|=M/(1+(x²)) voor x naar oneindig, en
|g(y)|=N/(1+(x²))voor x naar oneindig.

Hieruit volgt

INT1+INT2= (M/(1+x²))·INT[g(y)dy]+(N/(1+x²))·INT[f(x-y)dy]
Ik begrijp niet hoe ik nu verder moet.Ook begrijp ik niet waarom INT1 geldt voor |y|=|x|/2 en INT2 voor |y|=|x|/2.

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - donderdag 7 mei 2009

Antwoord

Zowel INT[|g(y)|dy] als INT[|f(x-y)|dy] zijn eindig, dus bij elkaar krijg je een vast getal maal 1/(1+x²) als bovengrens.
Er staan nogal wat fouten in je uitwerking; de x is vast, dus je kunt hem niet naar oneindig laten gaan. Op zijn best zou je dus in plaats van ``O(1/(1+y²)) voor y naar oneindig'' moeten hebben maar voor de uitwerking heb je echt een vast getal maal 1/(1+y²) hebben. De verdeling in twee stukken |y|=|x|/2 en |y|=|x|/2 is gekozen om makkelijke afschatingen te maken.
In INT2, met |y|=|x|/2, geldt |g(y)|=M/(1+y²)=M/(1+(x/2)²)=4M/(4+x²); en omdat de integraal van |f(x-y)| eindig is kun je INT2 overschatten met K₂/(4+x²) met K₂ een vast getal.
In INT1, met |y|=|x|/2, geldt |f(x-y)|=N/(1+(x-y)²)=N/(1+(x/2)²)=4N/(4+x²); nu gebruik je dat de integraal van |g(y)| eindig is om een overschatting van INT1 te vindem van de vorm K₁/(4+x²).
Tezamen geeft dit dus deze bovengrens voor de convolutie: (K₁+K₂)/(4+x²).
Overigens kun je de absolute waarde van de convolutie afschatten met int(1/(1+(x-y)²)1/(1+y²),dy) (maal een constante) en die laatste integraal even uitrekenen (er kunt Pi/2/(4+x²) uit).

kphart
vrijdag 8 mei 2009

©2001-2024 WisFaq