Telprobleem combinaties

Hoe kan je de volgende gelijkheid aantonen: de som van de kwadraten van het aantal combinaties van k uit n (voor k=0 tot k=n) is gelijk aan het aantal combinaties van 2n uit n?

bedankt

Toon V
Student universiteit België - zondag 19 april 2009

Antwoord

Dag Toon,
Er zijn meerdere manieren, maar je kan het inzien door naar de driehoek van Pascal te kijken.
Een voorbeeld:
Neem n=3. Je wil aantonen dat geldt: 1²+3²+3²+1²=20 ook gelijk is aan 6!/(3!·3!)=20.
Het aantal manieren om vanuit de top van de driehoek van Pascal bij de 6e rij, derde kolom (=6 boven 3 =20) te komen kan je berekenen door eerst naar de derde rij (1,3,3,1)te gaan. Vanuit die 1 kan je op 1 manier bij 6 boven 3 komen, dus op 1X1 manieren. Vanuit de 3 kan dat op 3 manieren, dus op 3X3 manieren. enz.
Het totaal aantal manieren om vanuit de top van de driehoek (0 bonen 0) naar 6 boven 3 te komen is: 1²+3²+3²+1²

In feite bekijk je de driehoek op z'n kop vanuit de 6e rij 3e kolom. Om vanuit 6 boven 3 naar de derde rij te gaan zijn er ook 1,3,3,1 manieren.)

Als het niet duidelijk is, of je wil een ander bewijs, dan hoor ik het wel.
Groet, Lieke.

ldr
zondag 19 april 2009

©2001-2024 WisFaq