Impliciet differentieren

Bij vraagstellingen waarbij er gevraagd wordt te differentieren om y' impliciet te bepalen komt er telkens een y'(x) bij de diffentiaal. Ik heb geen idee waarom, ik vermoed dat het een differentieer regel is die ik niet weet.

De vergelijking van de vraag:
x³+y³+xy = 3
diff. leverd op:
3x² + 3y²(x)· y'(x) + y(x) + x· y'(x) = 0

Mijn vraag is waarom bij de 2e variable y³ er dit ( 3y²(x)· y'(x) ) uitkomt en niet alleen 3y²(x) wat ik zou verwachten.

Bij de 3e variable begrijp ik dit wel(xy), dit heeft te maken met de productregel.

Willem
Student universiteit - vrijdag 17 april 2009

Antwoord

Beste Willem,

Als je een voorschrift van de vorm y = f(x) hebt, kan je y' vinden door gewoon f(x) naar x te differentiëren met de gebruikelijke rekenregels. Je kan echter meer algemeen ook een voorschrift van de vorm f(x,y) = 0 hebben en die bepaalt (mogelijk, plaatselijk) ook y als functie van x.
Het vinden van y' is nu echter niet zo eenvoudig, tenzij je de vergelijking eenvoudig kunt oplossen naar y - dan zit je natuurlijk weer met iets van de vorm y = f(x).

Impliciet differentiëren is een manier om vertrekkend van een impliciet voorschrift f(x,y) = 0, toch de afgeleide y' = dy/dx te vinden. Het komt er op neer dat je x en y niet als onafhankelijke variabelen beschouwt (anders zou y³ naar x differentiëren inderdaad 0 geven), maar je beschouwt y als (onbekende) functie van x. Dus y hangt van x af, maar je weet niet op welke manier.

Volgens de kettingregel volgt dan (y(x))³ differentiëren naar x geeft 3.(y(x))², maar nu nog vermenigvuldigd met de afgeleide van y(x), dat noteren we kort y(x)'. Je krijgt dus niet 3y², maar 3y²y'. Om het te benadrukken noteerde ik de x-afhankelijk eerst expliciet als y(x), meestal schrijven we gewoon y maar denk eraan dat y afhangt van x.

Samengevat: je ziet y als impliciete functie van x, dus je moet rekening houden met de kettingregel. Achteraf kan je oplossen naar y'.

Gebruik eventueel de zoekfunctie van Wisfaq, je vindt dan nog meer uitleg en voorbeelden hierover.

mvg,
Tom

vrijdag 17 april 2009

©2001-2024 WisFaq