Zwaartepunt

Er is een omwentelingslichaam getekend van grafiek
f(x) = x² met domein [0,1] en deze wordt om de x-as gewenteld. Bereken de plaats van het zwaartepunt van dit omwentelingslichaam.

Moet je de formule M = K · d gebruiken?

Céline
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 15 april 2009

Antwoord

Hallo, Céline.

Je HOEFT die formule niet te gebruiken, want de bepaling van het zwaartepunt kan standaard worden uitgevoerd, als volgt:

1) Maak een parametervoorstelling van de rand van het lichaam.
Hier wordt dat (x, x²cos(t), x²sin(t)), 0$\leq$x$\leq$1, 0$\leq$t$<$2$\pi$.

2) Bereken de massa van het lichaam bij massadichtheid 1. Dat is de integraal met integrand 1 over het lichaam.
Hier wordt dat $\int{}$01$\int{}$-x2x2$\int{}$-x2sin(t)x2sin(t) dz dy dx (met y=x2cos(t) waarbij t loopt van $\pi$ naar 0) = $\pi$/5.
Alternatieve berekening met poolcoördinaten:
$\int{}$01$\int{}$02$\pi$$\int{}$0x2 r dr dj dx = $\pi$/5.

3) Bereken de coördinaten van het zwaartepunt.
Dat is voor elke coördinaat de integraal over hetzelfde lichaam, maar nu met integrand x, resp y en z, ipv 1, en telkens gedeeld door de massa $\pi$/5.
Dat wordt hier:
x-coördinaat ($\pi$/6)/($\pi$/5) = 5/6;
y-coördinaat 0/($\pi$/5) = 0;
z-coördinaat 0/($\pi$/5) = 0.

Dat hier de laatste twee coördinaten 0 zijn, is trouwens meteen duidelijk vanwege de symmetrie in het omwentelingslichaam.

NASCHRIFT: misschien voel je er nu toch voor, gewoon de formule toe te passen die je noemt, en die geldt voor omwentelingslichamen:
d = M/K = $\int{}$₀¹ $\pi$xy² dx / $\int{}$₀¹ $\pi$y² dx, met y = x².
Reken zelf na dat d = 5/6.

donderdag 16 april 2009

Re: Zwaartepunt

©2001-2024 WisFaq