Kettingregel voor primitiveren

Voor mij is het niet helemaal duidelijk hoe de kettingregel werkt voor primitiveren, ik heb de andere vragen gelezen over dit onderwerp maar het is mij nog steeds niet duidelijk.

Bijvoorbeeld de functie:
f(x) = 1/(1+e^x)

Ik zou zeggen dat de primitieve hiervan is:
primitieve 1/x = Ln(x)
Dus 1/(1+e^x) wordt Ln(1+e^x)
Maar door de kettingregel moet je hetgeen tussen haakjes ook nog primitiveren en vermenigvuldigen.
Dus F(x) = (x+e^x) · Ln(1+e^x)

Maar volgens mij klopt wat ik doe niet voor primitiveren en mag de kettingregel alleen worden gebruikt bij differentiëren. Ik hoorde van de "omgekeerde kettingregel" voor primitiveren, maar hoe werkt deze dan precies?

Bvd,
Bas

Bas
Student universiteit - dinsdag 31 maart 2009

Antwoord

Beste Bas,

Je hebt gelijk dat de kettingregel een regel is voor het differentiëren, niet om een primitieve te zoeken. Voor sommige eenvoudige integralen is het mogelijk om de oplossing te vinden door zelf (intelligent) een voorstel te doen en na differentiëren te zien wat er 'ontbreekt' of fout is.

Bijvoorbeeld: een primitieve van cos(x) is sin(x). Om de primitieve van cos(4x) te vinden zou je kunnen denken aan sin(4x). Maar als we sin(4x) differentiëren krijgen we 4.cos(4x), die extra factor 4 is afkomstig van de kettingregel (bij het differentiëren dus).

Blijkt dat we een factor 4 te veel hebben, dus we stellen als primitieve niet sin(4x) maar sin(4x)/4 voor. Inderdaad, nu levert differentiëren precies de functie waarvan we de primitieve zochten, namelijk cos(4x). Dit is dus een beetje "omgekeerde kettingregel", als je dat zo wil noemen.

In het algemeen lukt het hier echter niet mee, omdat de 'fout' die je maakt bij je eerste voorstel geen constante factor is. Voor jouw opgave zou ik het bijvoorbeeld niet op die manier doen. Herschrijf:

1/(1+e^x) = (1+e^x)/(1+e^x) - e^x/(1+e^x) = 1 - e^x/(1+e^x)

De eerste term primitiveren is eenvoudig, voor de tweede kan je opmerken dat de teller de afgeleide van de noemer bevat - dat doet dan wel weer denken aan een ln.

mvg,
Tom

dinsdag 31 maart 2009

©2001-2024 WisFaq