Dubbelverhouding affiene en projectieve meetkunde

Dag mensen,
Ik heb 2 vragen :
1: dubbelverh.
Als ik 3 punten heb A(2,0) B(5,0) en C(7,0) en er is gegeven dat (ABCD)= -2 , dan is het mogelijk om het punt D (x, 0)te berekenen door ((c-a)·(x-b)/(c-b)·x-a))=-2 te gebruiken.Ik krijg als antwoord D(3 2/3, 0) dus dwz dat het punt D tussen A en B ligt. Maar als (ABCD)=1 krijg ik voor D(7,0) dwz dat D samenvalt met punt C. Kan dit?

vraag 2: -een koorde vierhoek is niet affien omdat de eigenschap dat de som van alle hoeken gelijk is aan 180 graden blijft behouden
- evenwijdige lijnen zijn affien en projectief omdat de eigenschappen niet niet veranderen...klopt dit?
-bisectrice niet affien omdat grote van de gemaakt hoeken kunnen verschillen
Mijn vraag is of de geven motivaties goed zijn of moet er meer bij komen kijken?
Alvast bedankt.

bobby
Student hbo - vrijdag 6 maart 2009

Antwoord

Beste Bobby,
Een dubbelverhouding kan alle waarden aannemen. Als ABCD=1 geldt: AC/BC=AD/BD, of ABC=ABD. Uit het laatste volgt direct dan C en D samen vallen.
Als je A,B en C vast kiest geldt als D samen valt met A:
ABCD=AC/BC·BD/AD=AC/BC·-AB/0=0neindig.
Ga na dat als D samen valt met B geldt:ABCD=0.
Als D samen valt met C: ABCD=^AC/_BC·^BC/_AC=1

Om je tweede vraag goed te beantwoorden zou je moeten nagaan wat precies de definities zijn van affien en projectief en welke eigenschappen dan behouden blijven. Met dat lijstje kan je dan de verschillende situaties beoordelen.

Eigenschappen die bewaard blijven bij parallel projectie zijn affiene eigenschappen. Gelijke hoeken kunnen na parallel projectie verschillend zijn.

Eigenscappen die ook nog bewaard blijven centrale projectie zijn projectieve eigenschappen.

Bij parallel projectie kan een cirkel een ellips worden, dus een koordevierhoek is dan geen koordevierhoek meer.
Maar evenwijdige lijnen zijn na centrale projectie over het algemeen niet meer evenwijdig. Denk maar aan een perspectief tekening waar evenwijdige lijnen elkaar op de horizon snijden. Evenwijdige lijnen zijn dus niet projectief, maar wel affien. (Een parallellogram blijft na parallel projectie een parallellogram, maar niet na centrale projectie.)

Een bissectrice is inderdaad niet affien en dus ook niet projectief. Hoeken blijven niet gelijk.
Succes,
Lieke.

ldr
donderdag 12 maart 2009

©2001-2024 WisFaq