Ontsnappings probleem

Hallo!

Ik doe voor een wiskunde PO een opdracht over een ontsnappingsprobleem, het gaat over een gevangenis directeur (zie hieronder de opdracht)

Hij heeft 50 gevangenen en zet in een kamer 50 dozen met in elke doos een foto van een gevangene.
Elke gevangene komt precies één keer voor in één doos.
De directeur gaat het volgende doen: hij laat de gevangenen één voor één in de kamer en zij mogen elk 25 dozen openen. Na afloop moeten zij de kamer precies zo achterlaten als ze hem vonden. Het is de bedoeling dat de gevangenen de doos met hun eigen foto vinden.

Als álle gevangenen dat lukt dan zijn ze allemaal vrij, maar zodra er ook maar ééntje faalt, worden ze allen opgehangen.
De gevangenen mogen vóóraf een bepaalde tactiek met elkaar doorspreken, maar zodra het experiment is begonnen is geen communicatie meer mogelijk.

"Hihihihihihihhi," denkt de directeur handenwrijvend: voor één gevangene is de kans dat het hem lukt 50% (hij ziet immers de helft van de dozen). De kans dat het dan 50 keer achter elkaar lukt is slechts (0,5)⁵⁰ = 0,000000000000000888
Nou, dat zal niet snel lukken!

Maar door een slimme tactiek vooraf af te spreken kunnen de gevangenen hun kans verhogen tot maar liefst bijna 30%!

Dat is meer dan tienduizend miljard keer zo groot.........

HOE doen ze dat?

nu ben ik al rond wezen kijken voor een oplossing.
Ze hebben het over een lus die moet worden gebruikt. De slagingskans met een lus van minder dan 25 is 100% Maar als de lus groter wordt dan 25, is er een kans van 30%

ze zeggen dat dit zo is, omdat 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ln(n)

deze laatste regel klopt bij mij niet en nu snap ik er weinig meer van. Kunt u me helpen met uitleggen waarom de ontsnappingskans 30% wordt?

p.s de opdracht komt van http://hhofstede.nl/raadsels/oplgevangenenfotos.htm

Mariël
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 21 februari 2009

Antwoord

Mariëlle,

Wellicht helpt een antwoord op de volgende twee punten je verder:
1. 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ln(n)
2. ln 2x - ln x = ln 2
Ten aanzien van 1: 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ln(n)
Dat de sommatie naar oneindig gaat, blijft voor velen moeilijk te zien.
Op http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html (alleen het eerste deel) wordt dit duidelijk gemaakt.
Ook op Harmonische reeks wat is de limit? kun je wat nalezen.

Ten aanzien van 2: ln 2x - ln x = ln 2
De volgende formule kan je daarbij helpen: ln a - ln b = ln (
^a/_b)
In dit geval: ln 2x - ln x = ln (^2x/_x=ln 2.
Hiermee kan je de berekeningen op de door jou aangegeven site denk ik wel volgen. Succes.

woensdag 25 februari 2009

©2001-2024 WisFaq