Oppervlakte en inhoud octaëder aan de hand van kubus!
Nu het probleem is hem niet dat ik het niet kan oplossen, maar ik kan het niet oplossen zoals ik denk dat het moet. Wat heb ik gedaan: puur op formules afgegaan, en niet op meetkundige eigenschappen. Ik zet hieronder even wat ik gedaan heb:
Voor vraag a
------------
Gwn vlakken in de kubus gemaakt en dan met pythagoras telkens de zijdes berekend. Tot dusver dus ruimtemeetkunde, en ik kwam uit dat alle hoekpunten de hoekpunten zijn van een vierkant (er zijn in totaal drie vierkanten): een in de 'diepte', een 'horizontaal' en een 'verticaal'. Daar dus geen problemen.
Voor vraag b
-------------
Ben ik niet afgegaan op 8x de oppervlakte van een driehoek, maar heb ik de formule A = 2Ö3 . r2 toegepast en verkreeg ik 4Ö3
Ik vrees echter dat ik hier al moet gebruik maken van de eigenschappen van de kubus, want de formule staat niet expliciet vermeld in de cursus.
Voor vraag c)
--------------
Ongeveer hetzelfde verhaal als bij b. Voor het volume van de octaëder heb ik V = 1/3 . Ö2 . r3 gebruikt en kreeg ik netjes 4/3. Het bewijs klopt dan erg mooi, want 6. (4/3) is 8, wat op zijn beurt r3 is en dus het volume van de kubus.
Voor vraag d
-------------
Hier niet echt een probleem, want de formule van een bol staat wel vermeld in de cursus en het volume van de octaëder heb ik al moeten berekenen bij vraag c. Ik krijg inderdaad dat linkerlid gelijk is aan rechterlid.
Kunnen jullie mij echter vertellen hoe ik vraag b en c anders kan oplossen en of ik geen beredeneringsfout heb gemaakt bij vraag a? Alvast bedankt!
The Lo
3de graad ASO - zondag 8 februari 2009
Antwoord
Het gaat bij b. om 8 keer de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde Ö2. De oppervlakte van zo'n driehoek bereken je met 1/2·b·h met b=Ö2 en de hoogte (met de stelling van Pyhagoras) 1/2Ö6. Dus de oppervlakte van één zo'n driehoekje is 1/2·Ö2·1/2Ö6=1/2Ö3. Dus acht van driehoekjes hebben samen een oppervlakte van 4Ö3.
De inhoud van de octaëder is twee maal de inhoud van een piramide. De inhoud van een piramide is 1/3·G·h met G=2 en h=1. De inhoud van zo'n piramide is dan 1/3·2·1=2/3. De inhoud van de octaëder is 4/3.
Ik gebruik dus alleen formules voor de oppervlakte van een driehoek (die ken je wel) en de inhoud van een piramide (die ken je ook wel). Toch?
Lost dat je probleem op?
zondag 8 februari 2009
©2001-2024 WisFaq
|