Kans op snijden van vaste diameter cirkel

Gegeven is een cirkel met straal R, middelpunt M, vaste diameter AB en vaste straal MA.
Wat is de kans dat een rechte die de cirkel snijdt,

a) ook AB snijdt?
b) ook MA snijdt?

Ik heb twee methoden voor a), jammergenoeg met twee verschillende uitkomsten:

1) Neem een punt op halve cirkelboog (kans op dat punt is 1/p), dan moet het andere punt aan de overkant van de vaste diameter liggen. Tellen we de kans voor elk punt op, dan bekomen we: P[snijding] = (1/p · 1/2) · p

2) Beschouw alle lijnen met een bepaalde hoek q die de cirkel snijden, dan is de kans op snijden van AB gelijk aan sin(q) (met tekeningetje duidelijk te zien, maar dat kan ik hier niet tonen), nemen we dat voor alle hoeken dan bekomen we: P[snijding] = integraal van (1/p · sin(q)) voor q van 0 tot p = 2/p

Welke methode is de juiste?

Bedankt!

MD
Student universiteit België - zondag 25 januari 2009

Antwoord

Dit voorbeeld is verwant aan de `paradox' van Bertrand. Die is hier op de Wisfaq al eens besproken (zoek binnen Wisfaq op `Bertrand'). In Euclides is hierover ook een lezenswaardig stuk verschenen, zie de link hieronder.
Kort en goed: dat de antwoorden verschillen is niet de schuld van de kansrekening maar van de interpretatie van wat een `willekeurige rechte' is. Dat laatste is een filosofisch/praktisch/modelleer-probleem.

Zie Een meetkundige (on)waarschijnlijkheid

kphart
woensdag 28 januari 2009

©2001-2024 WisFaq