Factor 1/3 bij volume

Waarom heb je bij een prisma en kegel juist de factor 1/3 voor het volume?

Vannes
3de graad ASO - dinsdag 6 januari 2009

Antwoord

In de eerste plaats een kleine correctie: de formule geldt niet voor prisma's maar voor piramides.
De verklaring van het getal 1/3 is niet zo simpel te geven. Bij inhoudsberekeningen die gebruik maken van wat in feite integraalrekening heet, komt die factor 1/3 vanzelf bovendrijven.
Voor een eenvoudig geval is het wel in te zien. Teken maar eens een driezijdig prisma ABC DEF (dus twee congruente driehoeken als boven- en ondervlak en daar tussenin parallellogrammen of rechthoeken).
Trek nu de verbingdingslijnstukken AE, CE en AF en je ziet drie piramides die het prisma helemaal vullen.
De drie piramides zijn ABCE, DEFA en ABEF.
Met zijn drieën vullen ze het hele prisma en per stuk nemen ze dus het derde deel in beslag.
Dat de formule nu ook voor willekeurige piramides geldt, is natuurlijk niet vanzelfsprekend.
Dat het weer wel voor een kegel geldt, is ook wel aan te voelen. Als je het grondvlak van een piramide steeds meer hoekpunten geeft, dan gaat het steeds meer lijken op een cirkel.
Een kegel zou je dus kunnen beschouwen als een bijzondere piramide, namelijk een piramide waarvan alle hoekpunten van het grondvlak een cirkel zijn gaan vormen.

Zie ook Inhoud van een piramide vergeleken met die van een kubus

MBL
zondag 11 januari 2009

©2001-2024 WisFaq