Afleiden van een functie waarbij z een functie is van x en y

De vraag is: vind de afgeleide van x en y waarbij z impliciet als een functie van x en y gedefinieerd is bij de vergelijking: x³ + y³ + z³ + 6xyz = 1.

Ik stel de functie eerst gelijk aan 0 = x³ + y³ + z³ + 6xyz - 1

Voor het vinden van de afgeleiden houd ik y als constante aan. Maar wat doe ik met de z ???

Volgens het boek wordt de functie eerst afgeleid als: 3x² + 3z² ez/ex + 6yz + 6 xy ez/ex.

3x² begrijp ik, dit is de afgeleide van x³
bij 3z² veronderstel ik dat het de bedoeling is om z ook af te leiden, maar waarom dan het afgeleide teken hiervan ?
6yz zie ik weer als afgeleide van 6xyz, maar waarom hier z niet als afgeleide, ik zou er voor gekozen hebben de z gelijk te stellen aan 1
+ 6xy ez/ex begrijp ik niet, blijkbaar wordt de functie z hier afgeleid naar 1 met het afgeleide teken erachter. Wat is hiervan de reden ?

Uiteindelijk is de oplossing van de vergelijking:
- (x² + 2yz) / (z² + 2xy)
Ik zie de hiervoorgaande afgeleide gedeeld is door 3, dat de waarden zonder afgeleideteken als teller zijn genoteerd en dat de waarden waarbij een afgeleideteken geplaatst is als noemer zijn gedefinieerd.

Ik zie dus wat er gebeurd, maar begrijpen doe ik het niet.
Ik hoop dat iemand mij kan helpen.

M.vr.gr.
Marojo

Marojo
Student universiteit - maandag 29 december 2008

Antwoord

Beste Marojo,

Gegeven is x³+y³+z³+6xyz = 1 waarbij z als functie van x en y wordt beschouwd, dus z = z(x,y). Je mag x en y als onafhankelijk beschouwen, maar houd bij het afleiden rekening met het feit dat z zowel van x als van y afhangt.

Als we afleiden naar x, dan vinden we - term per term:
- x³ wordt 3x², dat is eenvoudig
- y³ verdwijnt, want y hangt niet af van x
- z³ verdwijnt niet, want z is functie van x.

Als er gewoon z had gestaan, dan was de afgeleide dus ¶z/¶x. Nu staat er z³, dus volgt met de kettingregel als afgeleide naar x: 3z².¶z/¶x.

- analoog voor de term 6xyz, pas de productregel toe.

mvg,
Tom

maandag 29 december 2008

Re: Afleiden van een functie waarbij z een functie is van x en y

©2001-2024 WisFaq