Oppervlakte en omtrek van een regelmatige veelhoek en pi

Wanneer je de formule voor de omtrek van een regelmatige veelhoek deelt door twee maal de straal van de omschreven cirkel van deze regelmatige veelhoek, nader je het getal . Hetzelfde geldt bij de formule voor de oppervlakte van een regelmatige veelhoek wanneer je die deelt door het kwadraat van de straal van de omschreven cirkel van deze regelmatige veelhoek, nader je veveneens het getal . Kan iemand dit verklaren? HELP A.U.B.

Elke D
2de graad ASO - woensdag 4 december 2002

Antwoord

Hoi,

Eén manier om dit in te zien is om formules op te stellen. Een regelmatige n-hoek bestaat uit n gelijkbenige driehoekjes met tophoek 2$\pi$/n. Met goniometrie kan je dan de zijde berekenen: z_n=2R.sin($\pi$/n) en de omtrek is dus 2nR.sin($\pi$/n). Nu moet je ook weten dat sin(x)/x voor x$\to$1 gelijk is aan 1. De omtrek is dus voor n$\to$$\infty$ gelijk aan 2$\pi$R.
We hebben n driehoekjes met oppervlakte R².sin(2$\pi$/n)/2. De oppervlakte van de n-hoek is dus nR².sin(2$\pi$/n)/2 en voor n$\to$$\infty$ wordt dit $\pi$R².

Een 'intuïtiever' manier om dit in te zien is om een cirkel te bekijken en daar een n-hoek in en om te tekenen. Voor toenemende n sluiten deze veelhoeken steeds dichter aan bij de cirkel die ertussen ligt. Bovendien sluiten de in- en omgeschreven n-hoeken ook steeds dichter bij elkaar aan. Voor n$\to$$\infty$ zal de omtrek van de n-hoeken dus gelijk zijn aan de omtrek van de tussenliggende cirkel. Hetzelfde geldt voor de oppervlaktes.

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 4 december 2002

©2001-2024 WisFaq