Vergelijking met logaritme van complexe getallen
Beste Wisfaq,
In het kader van complexe getallen wordt er gevraagd de volgende vergelijking op te lossen:
Log(z2 − 1) = pi/2
Verder weet je dat Log(z) = Log|z| + i Arg(z)
Wat is de meest efficiente manier om deze vergelijking op te lossen?
Ruud
Student universiteit - vrijdag 26 september 2008
Antwoord
Dag Ruud,
Uit Log(z)=Log|z|+ i Arg(z) zie je dat Log(z) bestaat uit een reëel deel (namelijk Log|z|) en een imaginair deel (namelijk Arg(z)). Als je dat toepast op de opgave, dan merk je dat Log(z2-1)=ip/2 als reëel deel nul heeft (dus log|z2-1|=0) en als imaginair deel p/2, dus Arg(z2-1)=p/2.
Uit dat eerste haal je dat |z2-1|=1 (dat kan je nu zonder problemen doen omdat die |z2-1| een positief reëel getal is!). En het argument van z2-1 ken je nu ook, dat is p/2. Dus van het complexe getal z2-1 ken je zowel modulus als argument, en je besluit dat
z2-1=1*ei(p/2) dus z2-1=i dus z2=1+i.
Nog even oplossen naar z (daarvoor mss eerst die 1+i nog in exponentiële notatie omzetten) en je bent er.
NB in deze opgave had je ook direct kunnen zien dat z2-1=i, aangezien eip/2=i. Maar door met log|z| en arg(z) te werken kan je wel elke soortgelijke oefening aanpakken.
Groeten,
Christophe.
Christophe
zaterdag 27 september 2008
©2001-2024 WisFaq
|