Re: Re: Convergerende of divergerende integraal
Hallo,
Sorry, maar ik snap het nog steeds niet helemaal. Is het trouwens niet zo dat cos(x2+1)/x2 1/2x2 in plaats van  ? En convergeert 1/(2x2) dan rond de oorsprong of niet?
En als je moet zeggen of een bepaalde functie convergeert of divergeert op „, kijk je toch of de functie op „een limiet nadert of juist niet. Waarom kijk je nu dan naar de oorsprong?
Tine A
Student universiteit - vrijdag 1 augustus 2008
Antwoord
Beste Tine,
Enkele voorbeelden om op je laatste vraag in te gaan:
- de integraal van 1/x met x van c tot +„ divergeert voor elke c,
- de integraal van 1/x2 met x van c tot +„ convergeert voor c 0 maar divergeert als c=0.
Zo zie je dat de convergentie van een integraal, geļntegreerd tot +„, niet alleen afhangt van het gedrag op +„. Je moet ook naar singuliere punten kijken, dit maakt van de integraal ook een oneigenlijke integraal.
Bij jouw opgave is het 'probleem' hetzelfde als bij 1/x2: de functie wordt snel genoeg klein om te convergeren op oneindig, maar het punt x=0 strooit roet in het eten.
Wat de zin van die afschatting betreft: om convergentie aan te tonen zoek je een convergente majorant (naar boven afschatten), om divergentie aan te tonen een divergente minorant (naar onder afschatten).
Omdat cos(1+x2) (voldoende dicht) rond x=0 kleiner groter is dan 1/2, geldt: cos(1+x2) 1/2 Ž cos(1+x2)/x2 1/(2x2)
Voor de convergentie van die laatste integraal, onderzoek wat de oneigenlijke integraal voor x van 0 tot e0 van 1/(2x2) doet.
mvg,
Tom
vrijdag 1 augustus 2008
©2001-2024 WisFaq
|
Dit is een reactie op vraag 56180