Divergentiesnelheid

Hoi, in een van onze lessen hebben we het over convergentiesnelheid. We hebben een vergelijkingscriterium aangeleerd gekregen om te bepalen welkevan de twee functies het snelst convergeert naar een getal, deez ilustreer ik met een algemeen voorbeeld:
indien g(x) en h(x) beide convergeren naar a, dan convergeert g(x) sneller naar a indien (limieten naar oneindig)
lim((g(x)-a)/(h(x)-a))=0
Nu moeten we in een van de oefeningen uit de cursus bepalen welke functie het snelste divergeert. Hierbij ging ik er van uit dat de functie g(x) het snelst divergeert, als 1/g(x) het snelst convergeert naar 0
de oefening gaat over volgende functies:
g(x)=2x en h(x)=x+3
als ik dan de vergelijkingstest wil uitvoeren doe ik eht volgende
lim((1/2x)/(1/(x+3))) welke overeenkomt met 1/2
met deze test zeg ik dat 1/(x+3) sneller naar 0 convergeert dan 1/(2x) maar in de werkelijkheid convergeet 1/(2x) toch sneller?
Het gaat me in deze vraag er eerder over dat die regel van convergentiestelling niet blijkt te kloppen als h(x) en g(x) van zelfde graad zijn, tenzij ik iets verkeerd zie.
Alvast bedankt

David
Student universiteit België - woensdag 9 juli 2008

Antwoord

Kijk naar je definitie van `sneller'; je wilt dat het quotiënt naar nul gaat. In je voorbeeld gaat het quotiënt niet naar nul maar naar 1/2. Je definitie is dus niet van toepassing. Het is gebruikelijk om in een geval als bij jouw voorbeeld te zeggen dat de functie even snel convergeren; vermenigvuldigen met een constante ongelijk aan nul verandert het wezenlijke gedrag van een functie niet.

kphart
woensdag 9 juli 2008

©2001-2024 WisFaq