Bewijs inverteerbaarheid

Is A inverteerbaar dan is de getransponeerde matrix A^T ook inverteerbaar en (A^T)^-1 = (A^-1)^T
Bewijs

Wilt u me Aub helpen

Bedankt

Ellen
3de graad ASO - woensdag 27 november 2002

Antwoord

Hoi,

Omdat A^-1 bestaat, zal ook (A^-1)^t bestaan.

(A^-1)^t.A^t = (A.A^-1)^t = (I)^t= I
Dus: (A^-1)^t.A^t=I

Analoog bewijs je dat A^t.(A^-1)^t=I

(A^-1)^t is dus een geldige oplossing van X.A^t=I en A^t.X=I. Er bestaat voor een willekeurige matrix hoogstens één oplossing hiervoor en als er een bestaat, is dit de inverse van A^t.

Daarom bestaat inverse (A^t)^-1 van A^t en is deze gelijk aan (A^-1)^t.

Een iets andere aanpak bestaat erin om via determinanten te werken:
(A^-1)^t.A^t=I en dus: det((A^-1)^t).det(A^t)=det(I)=1. Daarom kan det(A^t) niet 0 zijn en moet (A^t)^-1 bestaan.
Verder hebben we dat (A^-1)^t.A^t=I en dus (A^-1)^t.A^t.(A^t)^-1=I.(A^t)^-1 zodat (A^t)^-1=(A^-1)^t.(A^t.(A^t)^-1)=(A^-1)^t.I=(A^-1)^t

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 27 november 2002

©2001-2024 WisFaq