Lineaire combinaties
Bewijs: als l1,l2,l3 de eigenwaarden van A, dan is det A = l1*l2*l3.
Kan iemand mij aub helpen om dit te bewijzen? Ik heb geen idee...
Alvast bedankt!
Brent
3de graad ASO - maandag 16 juni 2008
Antwoord
Onder vrij algemene voorwaarden kan je A diagonaliseren:
A = P*D*P^(-1)
En volgens een eigenschap van determinanten:
det(A) = det(P)det(D)det(P^(-1))
D is een diagonaalmatrix met de eigenwaarden op de diagonaal, dus met determinant hun produkt. De andere determinanten zijn elkaars omgekeerde.
Een elegantere redenering maakt gebruik van de karakteristieke veelterm det(lI-A). Die is voor l=0 gelijk aan det(-A)=(-1)^n.det(A). Anderzijds geeft l=0 stellen in een veelterm in l de constante term, en in veeltermvergelijkingen is de constante term (-1)^n keer het produkt van zijn oplossingen en dat zijn precies de eigenwaarden.
maandag 16 juni 2008
©2001-2024 WisFaq
|