Standaardafgeleiden en rekenregels

t(c)=c·x + c·tan c

Ik snap totaal niet waar ik moet beginnen heb al een aantal voorbeelden uit mijn boek gemaakt, maar kom er niet uit.

volgens het boek moet het antwoord zijn: x+(c/cos²c)+tan c

Niels
Student hbo - dinsdag 26 november 2002

Antwoord

voor deze opgave heb je een paar regels mbt de afgeleide nodig.

1. de productregel:
[f(x).g(x)]'=f'(x).g(x) + f(x).g'(x)

2. de quotientregel:
[f(x)/g(x)]'=(g(x).f'(x)-f(x).g'(x))/g²(x), of kortweg
[t/n]'=(n.t'-t.n')/n² (t=teller, n=noemer)

Nu jouw opgave:
t(c)=cx+c.tanc
bereken t'(c)

merk op dat de variabele nu c is, en niet x. Met andere woorden: x is hier een constante. Terwijl je waarschijnlijk altijd gewend was dat x de variabele is. Nu heeft de letter c die rol op zich genomen.
Je differentieert nu naar de variabele c, net zoals je vroeger een of andere functie f(x) gewend was naar x te differentieren.

het eerste stukje, cx, laat zich makkelijk naar c differentieren: [cx]'=x

Op het tweede stukje c.tanc, moet je de productregel toepassen, omdat dit stukje het product is van 2 functies:
f(c)=c en g(c)=tanc

Vervolgens dien je te bedenken dat tan(c) geschreven kan worden als sin(c)/cos(c).
Het differentieren van tan(c) is dus hetzelfde als het differentieren van sin(c)/cos(c), en hier geldt de quotientregel voor.
We doen de berekening stapje voor stapje, zo moet je het ZELF OOK doen.

t(c)=cx+c.tanc
t'(c)=[cx+ctanc]'
=[cx]'+[c.tanc]' _(somregel)
=x + [c.tanc]'
=x + [c]'.tanc + c.[tanc]' _{(produktregel)}
=x + 1.tanc + c.[tanc]'
=x + tanc + c.[sinc/cosc]'
=x + tanc + c.(cosc.[sinc]'-sinc.[cosc]')/cos²c _{(quotientregel)}
=x + tanc + c.(cos²c+sin²c)/cos²c
=x + tanc + c.1/cos²c (want sin²a+cos²a=1)
=x + tanc + c/cos²c

groeten,
martijn

mg
dinsdag 26 november 2002

©2001-2024 WisFaq