Maximale diameter van een cirkel in een segment

Ik wens in mijn tuin in één van de hoeken klinkers te leggen in de vorm van een kwart cirkel.
In deze kwart cirkel wens in een opblaasbaar zwembad te plaatsen, als ik de korte zijden en de schuine zijde ken, hoe bepaal ik i.f.v. deze de maximale cirkel (diameter van zwembad) welke ik hier in kan plaatsen (A= 6,67m B= 6,67m Schuine zijde = 8,38 m, de hoek tussen A en B is niet gelijk aan
90 °)

Luc
Iets anders - zaterdag 17 mei 2008

Antwoord

Hoi,

Wiskundig gezien is de formulering een beetje verwarrend omdat de termen 'kwart cirkel' en 'schuine zijde' verwijzen naar een rechthoekige driehoek. Zoals je zelf zegt, is dat niet het geval. Maar we hebben het begrepen.

Het gaat om een gelijkbenige driehoek met basis c=8.38m en benen a=b=6.67m. Op de basis van deze driehoek staat er een cirkelboog. Alhoewel je het niet expliciet vermeldt, nemen we aan dat het middelpunt van de cirkel waarop deze boogligt, samenvalt met de tophoek van de gelijkbenige driehoek. Bij benadering zal dat in elk geval wel zo zijn.In deze figuur wil je de grootst mogelijke cirkel construeren (je zwembad) en de vraag is wat de afmetingen zijn van die cirkel.

Je zwembad zal raken aan de twee benen en aan de cirkelboog.

De tophoek (tussen de benen van de driehoek) noemen we a. De cosinus-regel leert ons dan dat: c²=a²+b²-2.a.b.cos(a). En dus: cos(a)=1-c²/(2.a²)=0.21076. De hoek tussen je benen is dus iets minder dan 78°, wat bevestigt dat het geen rechte hoek is.

Het grootst mogelijke zwembad heeft een middelpunt op de bissectrice uit de tophoek. Laten we aannemen dat de straal van de cirkel x is en dat het middelpunt op een afstand y van de tophoek ligt. Aangezien deze grootste cirkel raakt aan de benen van de driehoek en de cirkelboog op de basis, hebben we: x+y=a en x/y=sin(a/2).

We weten ook dat cos(a)=1-2.sin²(a/2), zodat s=sin(a/2)=Ö(1-cos(a))/2=0.62819. Uit de vergelijkingen halen we dan: x=s.a/(1+s)=2.57m.

Antwoord: je kan een zwembad zetten met een diameter van 5.15m. Een reëel zwembad zal uiteraard een dikke wand hebben enz. De echt bruikbare diameter is dus iets minder.

Grtz,
J

andros
zondag 18 mei 2008

©2001-2024 WisFaq